단면2차모멘트 완전 가이드: 도심·평행축정리부터 강축과 약축까지

도심과 평행축정리부터 T형 합성단면·구멍·단면계수·L형 주축, CAD와 FEA 검증까지 실제 수치와 Python 코드로 연결합니다.

보의 휨모멘트를 정확히 구했는데도 응력이나 처짐이 크게 틀리는 경우가 있습니다. 원인은 종종 재료강도가 아니라 단면을 숫자로 바꾸는 단계에 있습니다. A가 재료의 양을 말한다면, 단면2차모멘트 I는 그 재료가 기준축에서 얼마나 멀리 배치되었는지를 말합니다. 같은 면적이라도 얇고 넓게 눕힌 판과 세워 놓은 판의 휨 성능은 전혀 다릅니다.

학습 결과: 이 글을 끝까지 따라가면 단면2차모멘트의 정의를 설명하고, 직사각형 공식을 유도하며, 합성단면과 구멍의 도심·Ix·Iy·단면계수를 손과 Python으로 계산하고, 비대칭 단면의 곱관성모멘트와 주축을 구해 CAD·FEA 입력값까지 검증할 수 있습니다.

단계핵심 질문얻게 되는 능력

1 · 처음 배우기면적과 단면2차모멘트는 왜 다른가?I = ∫y²dA의 물리적 의미와 단위를 읽습니다.

2 · 기초 계산기준축이 바뀌면 무엇이 달라지는가?도심과 평행축정리를 정확한 순서로 사용합니다.

3 · 실무 계산T형·구멍 단면을 어떻게 다루는가?합성단면을 표로 분해하고 I와 Z를 산정합니다.

4 · 자동 검산반복 계산과 부호 오류를 어떻게 줄이는가?실행 가능한 Python 코드와 단언문으로 결과를 재현합니다.

5 · 전문가 판단비대칭 단면과 FEA 결과를 어떻게 연결하는가?Ixy, 주축, 강축·약축, 로컬축과 전단중심을 구분합니다.

이 글은 앞서 다룬 전단력도·휨모멘트도와 보 처짐 계산 사이의 빠진 연결고리를 채웁니다. 하중에서 구한 M(x)는 단면응력 σ = My/I로, 곡률 κ = M/(EI)로 이어집니다. 두 식 모두 분모의 I가 틀리면 계산 전체가 틀립니다.

1단계 — 단면2차모멘트는 ‘면적의 양’이 아니라 ‘면적의 배치’다

x축에 대한 단면2차모멘트는 다음과 같이 정의합니다.

Ix = ∫A y² dA

여기서 y는 미소면적 dA에서 기준 x축까지의 수직거리입니다. 거리가 제곱되므로 축에서 두 배 멀어진 같은 면적은 Ix에 네 배 기여합니다. 그래서 플랜지를 중립축에서 멀리 보내는 I형 단면이 재료를 중심에 몰아넣은 직사각형보다 효율적입니다. MIT의 단면 선택 강의자료도 축의 위치가 결과를 결정하며, 보 휨에서는 보통 도심축에 대한 면적2차모멘트를 사용한다고 강조합니다.

dA의 단위가 mm²이고 y²의 단위가 mm²이므로 I의 단위는 mm⁴입니다. 질량관성모멘트처럼 회전에 대한 질량의 저항을 뜻하지 않습니다. 영어의 정확한 이름은 second moment of area 또는 area moment of inertia입니다. 두 개념은 적분 모양이 비슷하지만 하나는 면적, 다른 하나는 질량을 적분합니다.

직사각형 공식은 외우기 전에 한 번 유도한다

폭 b, 높이 h인 직사각형의 도심 x축을 생각합니다. 높이 dy인 가로띠의 면적은 dA = b dy입니다.

Ix = ∫[-h/2,h/2] y²b dy = b[y³/3] = bh³/12Iy = hb³/12

휨방향 높이가 세제곱으로 들어간다는 점이 핵심입니다. 200 × 20 mm 직사각형을 x축에 대해 눕히면 Ix = 200×20³/12 = 133,333 mm⁴입니다. 같은 단면을 90° 세우면 Ix = 20×200³/12 = 13,333,333 mm⁴입니다. 면적은 둘 다 4,000 mm²지만 Ix는 정확히 100배입니다.

다만 응력비가 100배는 아닙니다. 최대휨응력은 σmax = M c / I = M/Z이고 c도 10배 커지기 때문입니다. 눕힌 단면의 Zx = 13,333 mm³, 세운 단면의 Zx = 133,333 mm³이므로 같은 모멘트에서 응력비는 10배입니다. 반면 선형탄성 보의 처짐은 1/(EI)에 비례하므로 다른 조건이 같다면 100배 차이가 납니다.

A, I, Z, r을 같은 숫자로 취급하지 않는다

성질정의대표 단위주요 용도

면적 A∫dAmm²축응력 N/A, 자중, 재료량

단면2차모멘트 I∫y²dAmm⁴휨응력 분포, 곡률, 처짐

탄성단면계수 ZI/cmm³최외단 휨응력 M/Z

회전반경 r√(I/A)mm세장비 KL/r, 좌굴방향 비교

I에는 반드시 축이 붙습니다. ‘이 단면의 I는 얼마인가?’는 불완전한 질문입니다. 어느 점을 지나고 어떤 방향인 축인지 정해야 합니다. Ix와 Iy가 다르면 같은 단면도 하중방향에 따라 강축 또는 약축으로 작동합니다.

2단계 — 도심을 먼저 찾고 평행축정리를 적용한다

균질한 선형탄성 재료의 순수휨에서는 중립축이 단면의 도심을 지납니다. 합성단면의 도심은 면적가중평균으로 구합니다.

x̄ = ΣAi xi / ΣAi, ȳ = ΣAi yi / ΣAi

여기서 모든 xi, yi는 하나의 공통 원점에서 측정해야 합니다. 각 조각의 자체 도심을 서로 다른 원점에서 읽는 실수가 가장 흔합니다. 도심을 구한 뒤에만 각 조각 도심축과 전체 도심축 사이 거리 d를 계산합니다.

평행축정리의 의미

I = Ic + A d²

Ic는 그 조각의 도심을 지나는 평행축에 대한 값이고, A d²는 전체 도심축으로 옮기는 비용입니다. 이를 직접 전개하면 ∫(y′+d)²dA의 교차항 2d∫y′dA가 조각의 도심축에서 0이 되어 위 식이 남습니다. MIT Solid Mechanics 강의자료는 이 유도와 함께 도심축의 단면2차모멘트가 모든 평행축 가운데 최소임을 보입니다. A d²가 음수가 될 수 없기 때문입니다.

이 정리에서 d는 임의의 거리나 원점까지 거리가 아닙니다. 두 평행한 축 사이의 수직거리입니다. x축으로 옮길 때는 y거리, y축으로 옮길 때는 x거리를 씁니다.

3단계 — T형 단면을 끝까지 계산한다

전체 높이 200 mm인 T형 단면을 계산해 봅시다. 상부 플랜지는 200 × 20 mm이고, 그 아래 웨브는 20 × 180 mm입니다. 원점은 단면 바닥, y축은 위쪽입니다. 두 직사각형은 겹치지 않게 나눴습니다.

조각크기Ai (mm²)yi (mm)Ai·yi

웨브20 × 1803,60090324,000

플랜지200 × 204,000190760,000

합계—7,600—1,084,000

따라서 ȳ = 1,084,000 / 7,600 = 142.6316 mm입니다. 좌우대칭이므로 x̄ = 100 mm이고 도심 y축은 대칭축과 일치합니다.

조각Ix,c (mm⁴)d (mm)A·d² (mm⁴)Ix 기여량 (mm⁴)

웨브9,720,000−52.63169,972,29919,692,299

플랜지133,333+47.36848,975,0699,108,403

합계———28,800,702

y축은 두 조각의 도심 y축과 일치하므로 x방향 이동항이 없습니다. Iy = 180×20³/12 + 20×200³/12 = 13,453,333 mm⁴입니다. 이 단면은 x축 휨에 더 강하지만 강축·약축이라는 말은 축을 명시할 때만 유효합니다.

비대칭 단면에서는 단면계수가 위아래로 다르다

도심에서 상단까지 거리는 ctop = 200 − 142.6316 = 57.3684 mm, 하단까지는 cbottom = 142.6316 mm입니다.

Ztop = Ix/ctop = 502,031 mm³Zbottom = Ix/cbottom = 201,924 mm³

같은 절댓값의 휨모멘트에서 하단 최외단응력이 약 2.49배 큽니다. 하나의 Z만 보고하면 인장측과 압축측이 바뀌는 하중조합에서 위험합니다. 단면 회전반경은 rx = √(Ix/A) = 61.56 mm, ry = 42.07 mm입니다. 좌굴은 일반적으로 작은 회전반경 방향이 취약하지만 실제 한계상태는 지지조건, 비틀림, 국부좌굴과 함께 판단해야 합니다.

구멍과 절취부는 음의 면적이다

같은 T형 단면의 중심선 x=100 mm, 바닥에서 y=60 mm인 곳에 반지름 15 mm 원형 구멍을 뚫습니다. 구멍은 A = −πr², Ic = −πr⁴/4인 음의 조각으로 넣습니다. 그러면 총면적은 6,893.14 mm², 도심은 ȳ = 151.1050 mm, Ix = 23,439,603 mm⁴가 됩니다.

구멍 면적은 전체의 약 9.3%지만 하단 단면계수는 201,924에서 155,121 mm³로 약 23.2% 감소합니다. 제거한 면적이 원래 도심에서 멀리 있기 때문입니다. 여러 구멍, 슬롯, 절취부도 같은 원리로 음의 조각을 추가하면 됩니다. 다만 구멍 주변의 국부응력집중은 이 전역 단면계산이 포착하지 못하므로 별도 상세해석이 필요합니다.

4단계 — Python으로 합성단면을 재현하고 검산한다

아래 코드는 외부 패키지 없이 실행됩니다. 직사각형과 원의 면적·도심·도심축 관성값을 만들고, 양의 조각과 음의 조각을 같은 합산식으로 처리합니다. 좌표와 단위는 전부 mm로 통일했습니다.

from dataclasses import dataclass from math import atan2, degrees, hypot, isclose, pi, sqrt @dataclass(frozen=True) class Part: sign: int area: float cx: float cy: float ixc: float iyc: float ixyc: float = 0.0 def rectangle(x, y, width, height, sign=1): return Part( sign=sign, area=width * height, cx=x + width / 2, cy=y + height / 2, ixc=width * height**3 / 12, iyc=height * width**3 / 12, ) def circle(cx, cy, radius, sign=-1): return Part( sign=sign, area=pi * radius**2, cx=cx, cy=cy, ixc=pi * radius**4 / 4, iyc=pi * radius**4 / 4, ) def section(parts): area = sum(p.sign * p.area for p in parts) if area <= 0: raise ValueError("net area must be positive") cx = sum(p.sign * p.area * p.cx for p in parts) / area cy = sum(p.sign * p.area * p.cy for p in parts) / area ix = sum( p.sign * (p.ixc + p.area * (p.cy - cy)**2) for p in parts ) iy = sum( p.sign * (p.iyc + p.area * (p.cx - cx)**2) for p in parts ) ixy = sum( p.sign * (p.ixyc + p.area * (p.cx - cx) * (p.cy - cy)) for p in parts ) mean = (ix + iy) / 2 radius = hypot((ix - iy) / 2, ixy) imax, imin = mean + radius, mean - radius theta_max = 0.5 * degrees(atan2(-2 * ixy, ix - iy)) return { "A": area, "cx": cx, "cy": cy, "Ix": ix, "Iy": iy, "Ixy": ixy, "Imax": imax, "Imin": imin, "theta_max_deg": theta_max, "rx": sqrt(ix / area), "ry": sqrt(iy / area), } # 겹치지 않는 T형 단면 t_section = [ rectangle(90, 0, 20, 180), rectangle(0, 180, 200, 20), ] t = section(t_section) assert isclose(t["A"], 7600.0, abs_tol=1e-9) assert isclose(t["cy"], 142.631578947, abs_tol=1e-9) assert isclose(t["Ix"], 28_800_701.754, abs_tol=1e-3) assert isclose(t["Iy"], 13_453_333.333, abs_tol=1e-3) # 같은 단면에서 원형 구멍을 음의 조각으로 뺌 t_with_hole = section(t_section + [circle(100, 60, 15)]) assert isclose(t_with_hole["cy"], 151.105047831, abs_tol=1e-9) assert isclose(t_with_hole["Ix"], 23_439_602.513, abs_tol=1e-3) # 100×100×10 등변 L형: 겹친 10×10을 한 번 뺌 l_angle = section([ rectangle(0, 0, 10, 100), rectangle(0, 0, 100, 10), rectangle(0, 0, 10, 10, sign=-1), ]) assert isclose(l_angle["cx"], 28.684210526, abs_tol=1e-9) assert isclose(l_angle["Ixy"], -1_065_789.474, abs_tol=1e-3) assert isclose(l_angle["Imax"], 2_865_833.333, abs_tol=1e-3) assert isclose(l_angle["Imin"], 734_254.386, abs_tol=1e-3) assert isclose(l_angle["theta_max_deg"], 45.0, abs_tol=1e-9) for name, result in [("T", t), ("T with hole", t_with_hole), ("L angle", l_angle)]: print(name, {k: round(v, 3) for k, v in result.items()})

이 코드를 신뢰해야 하는 이유는 코드가 짧아서가 아니라 독립된 알려진 값과 불변조건을 검사하기 때문입니다. 직사각형 하나로 bh³/12를 먼저 확인하고, 대칭 T형에서 x̄=100과 Ixy=0을 확인하며, 구멍을 추가했을 때 순면적이 줄어드는지 검사하십시오. 화면에 그럴듯한 숫자를 출력하는 것과 계산이 맞다는 것은 다릅니다.

5단계 — 곱관성모멘트와 주축

대칭축이 없는 L형·Z형·임의 단면에서는 Ix와 Iy만으로 방향성을 완전히 설명할 수 없습니다. 곱관성모멘트를 함께 계산합니다.

Ixy = ∫A x y dA

이 글의 부호정의에서 회전축 u, v에 대한 변환식은 다음과 같습니다.

Iu = (Ix+Iy)/2 + (Ix−Iy)cos(2θ)/2 − Ixy sin(2θ)Iuv = (Ix−Iy)sin(2θ)/2 + Ixy cos(2θ)

Iuv=0이 되는 서로 직교한 방향이 주축입니다. 도심을 지나는 대칭축은 주축이므로 직사각형, I형, 앞의 T형은 대칭축 좌표에서 Ixy=0입니다. 하지만 100 × 100 × 10 mm 등변 L형은 외곽 x·y축에 평행한 도심축에서 Ix=Iy=1,800,044 mm⁴, Ixy=−1,065,789 mm⁴입니다. 주축은 45° 회전하고 Imax=2,865,833 mm⁴, Imin=734,254 mm⁴가 됩니다.

MIT의 보 응력 강의자료는 면적모멘트 변환식과 곱관성모멘트를 정리합니다. 주축각 공식을 사용할 때는 프로그램이나 교재의 Ixy 부호정의와 각도 양의 방향을 반드시 확인해야 합니다. 값은 같아도 각도가 +45° 대신 −45°로 표시되는 경우가 있습니다.

전문가 단계 — CAD·FEA 값과 손계산을 일치시키는 법

1. 단면값보다 먼저 좌표계를 비교한다

해석기에 입력된 I11, I22가 맞아도 부재의 local 1·2축이 기대와 90° 돌아가 있으면 강축과 약축이 뒤바뀝니다. Abaqus의 보 단면방향 문서는 접선방향과 local 1·2방향으로 오른손 좌표계를 정의하고 단면방향을 지정·검사하도록 설명합니다. 모델 화면의 전역 X·Y만 보고 판단하지 마십시오.

2. 도심, 절점선, 전단중심은 같은 점이 아닐 수 있다

보 요소의 기준선이 도심을 지나지 않으면 축력과 휨이 오프셋으로 결합될 수 있습니다. 얇은 개방단면에서는 전단중심과 도심도 다를 수 있어 전단중심을 벗어난 횡하중이 비틀림을 만듭니다. Abaqus Beam Section Behavior도 단면합력의 기준점과 전단중심, 도심 관련 정의를 구분합니다. CAD의 면적도심만 복사했다고 하중도 자동으로 전단중심을 통과하는 것은 아닙니다.

3. 극단면2차모멘트와 비틀림상수 J를 혼동하지 않는다

도심을 지나는 직교축에 대해 극단면2차모멘트는 Jp = Ix + Iy입니다. 원형 단면의 Saint-Venant 비틀림상수 J는 Jp와 같지만, 비원형 단면과 특히 얇은 개방단면에서는 일반적으로 같지 않습니다. Ix+Iy를 앵글이나 채널의 비틀림강성 GJ에 그대로 넣으면 큰 오류가 날 수 있습니다.

4. 기하학적 I와 재료강성 EI의 경계를 지킨다

이 글의 도심공식은 단면 전체가 같은 재료이거나 동일 탄성계수로 환산된 경우에 적용됩니다. 강재와 콘크리트처럼 탄성계수가 다른 합성단면의 탄성중립축은 단순 면적가중 도심이 아니라 Σ(Ei Ai yi)/Σ(Ei Ai)의 강성가중 위치로 접근해야 합니다. 또는 기준재료로 환산단면을 만듭니다. 소성화, 균열, 접촉분리까지 발생하면 하나의 상수 EI만으로 거동을 대표할 수 없는 구간이 생깁니다.

5. 단면 성질이 맞아도 국부거동은 별도다

선형 보이론의 I는 전역 휨강성을 잘 설명하지만 얇은 판요소의 국부좌굴, 구멍 주변 응력집중, 전단지연, 뒤틀림비틀림, 용접부 국부응력은 직접 나타내지 않습니다. 단면 성질 검산은 해석의 출발점이지 모든 한계상태의 종료점이 아닙니다. 필요하면 쉘·솔리드 모델 또는 코드 규정의 유효폭과 좌굴식을 사용해야 합니다.

Abaqus 일반 보 단면 입력 문서는 면적, I11, I12, I22, 비틀림상수 J를 별도로 요구합니다. 이 입력항목을 손계산 표의 열과 일대일로 대응시키면 단위·축·부호 오류를 찾기 쉬워집니다.

자주 나오는 오답과 원인

오답 패턴왜 틀리는가교정 방법

bh³/12에서 b와 h를 도면 이름대로 고정h는 항상 휨 기준축에 수직한 치수입니다.먼저 축을 그린 뒤 그 축에서의 거리를 세제곱합니다.

조각의 Ic만 합산조각 도심과 전체 도심이 다릅니다.전체 도심을 구한 뒤 각 조각에 A d²를 더합니다.

T형을 겹치는 두 사각형으로 더함교차부 면적을 두 번 셉니다.겹치지 않게 분해하거나 중복부를 음의 면적으로 뺍니다.

구멍의 A만 음수, Ic는 양수제거된 면적의 모든 관성 기여를 빼야 합니다.조각 전체에 하나의 sign=-1을 적용합니다.

mm⁴ 값을 m⁴로 숫자만 복사1 m⁴ = 10¹² mm⁴입니다.길이단위 변환계수를 네 번 곱합니다.

비대칭 단면에 Z 하나만 사용위·아래 또는 좌·우 최외단 거리가 다릅니다.Ztop, Zbottom을 각각 계산합니다.

Ix+Iy를 언제나 비틀림상수로 사용극2차모멘트와 Saint-Venant J는 일반 단면에서 다릅니다.단면별 비틀림상수 또는 warping 해석을 사용합니다.

CAD 수치와 FEA 수치만 비교기준점·축방향·단위가 다르면 같은 숫자도 다른 의미입니다.좌표계 그림과 단위표를 수치표와 함께 보관합니다.

설계검토 전에 쓰는 12문항 체크리스트

단면 스케치에 공통 원점과 x·y축을 표시했는가?

모든 길이와 결과단위를 하나의 체계로 통일했는가?

합성조각이 중복되지 않거나 중복부를 명시적으로 뺐는가?

구멍과 절취부의 면적·Ic·이동항을 모두 음수로 처리했는가?

도심을 구한 뒤에 평행축 이동거리 d를 계산했는가?

Ix에는 y거리, Iy에는 x거리를 사용했는가?

대칭축에서 예상되는 Ixy=0을 확인했는가?

비대칭 단면은 양쪽 최외단거리와 단면계수를 따로 계산했는가?

CAD와 손계산의 기준점·축·단위를 맞췄는가?

FEA local 1·2축과 요소방향을 화면에서 확인했는가?

비틀림상수 J, 극2차모멘트 Jp, 전단중심을 구분했는가?

보이론이 놓치는 국부좌굴·응력집중·뒤틀림을 별도로 검토했는가?

마무리 — 좋은 단면계산은 숫자보다 추적성이 남는다

단면2차모멘트 계산의 본질은 복잡한 공식을 많이 아는 것이 아닙니다. 기준축을 선언하고, 단면을 겹치지 않는 조각으로 나누고, 도심을 먼저 구하고, Ic + A d²을 일관되게 합산하는 것입니다. 대칭이 사라지면 Ixy와 주축을 추가하고, 재료가 달라지면 기하학적 도심에서 강성중심으로 모델을 확장합니다.

실무 계산서에는 최종 I 하나만 남기지 마십시오. 단면 스케치, 원점, 조각표, 도심, 이동거리, Ix/Iy/Ixy, 단위, 코드 단언문을 함께 남겨야 다음 사람이 결과를 재현할 수 있습니다. 다음 글에서는 이 단면값과 앞서 구한 휨모멘트를 결합해 σ = My/I의 부호, 중립축, 비대칭 단면의 인장·압축측, 허용응력 검토까지 연결하겠습니다.

공식 참고자료

MIT OpenCourseWare — 단면2차모멘트와 단면 선택

MIT OpenCourseWare — 보 휨응력, 도심과 평행축정리

MIT OpenCourseWare — 면적모멘트 변환과 주축

Abaqus Documentation — Beam Section Behavior

Abaqus Documentation — Beam Cross-Section Orientation

공학적 주의: 이 글의 수치는 학습용 이상화 예제입니다. 실제 설계에는 적용 재료모델, 설계기준, 단면 공차, 연결부, 하중조합, 좌굴과 국부응력 검토를 포함하고 자격 있는 엔지니어의 검토를 거쳐야 합니다.