보의 휨응력 완전 가이드: σ=My/I부터 비대칭·이축휨과 FEA 검증까지

휨공식 유도부터 비대칭 T형 단면 응력, 축력에 따른 중립축 이동, 이축·비주축 휨과 보 FEA 출력 검증까지 실제 수치로 연결합니다.

휨모멘트도에서 최대값을 찾고 단면2차모멘트까지 계산했다면 이제 실제 설계질문에 답할 차례입니다. 단면의 어느 곳이 인장이고 어느 곳이 압축인가? 최대응력은 얼마이며 왜 그 위치에서 발생하는가? 해석기가 보여 주는 응력색상과 손계산 부호가 다를 때 무엇부터 확인해야 하는가?

휨공식 σ = My/I는 짧지만, 공식만 외우면 부호·축·단위·적용범위에서 쉽게 틀립니다. 이 글은 평면유지 가정에서 식을 유도하고, 앞선 글의 6 m 보 최대모멘트와 T형 단면을 그대로 연결해 응력을 계산합니다. 그다음 축력과 휨의 중첩, 이축휨, 비주축 휨, FEA section point 검증까지 같은 좌표계로 확장합니다.

학습 결과: 한 축 휨의 선형 응력분포를 유도하고, 비대칭 단면의 상·하단 응력을 구분하며, N/A ± My/I의 중립축 이동을 계산하고, 이축·비주축 휨의 최대응력 위치를 찾아, 보 요소의 단면력과 응력출력을 손계산으로 검증할 수 있습니다.

단계핵심 질문얻게 되는 능력

1 · 처음 배우기왜 한쪽은 인장이고 반대쪽은 압축인가?중립축과 선형 변형률·응력분포를 읽습니다.

2 · 공식 유도σ = −My/I는 어디서 나오는가?기하학·재료법칙·단면평형을 연결합니다.

3 · 연속 예제앞서 구한 M과 I를 어떻게 결합하는가?T형 단면의 상·하단 응력과 지배점을 계산합니다.

4 · 실무 확장축력·이축모멘트·Ixy가 있으면?움직이거나 회전하는 중립축을 구합니다.

5 · 전문가 검증FEA 색상과 손계산을 어떻게 대조하는가?로컬축·section point·단면력을 일대일 대응시킵니다.

이 글의 계산사슬은 전단력도·휨모멘트도 완전 가이드에서 구한 Mmax와 단면2차모멘트 완전 가이드에서 계산한 T형 단면을 재사용합니다. 예제를 바꾸지 않아 하중에서 응력까지 모든 수치를 역추적할 수 있습니다.

1단계 — 휨응력은 단면 안에서 선형으로 변한다

곧은 보에 양의 처짐형(sagging) 휨모멘트가 작용한다고 합시다. 보의 아래쪽 섬유는 늘어나 인장되고 위쪽 섬유는 짧아져 압축됩니다. 그 사이에는 길이가 변하지 않는 면이 있고, 단면에서 그 면과 만나는 선을 중립축이라고 합니다.

이 글에서는 보 길이방향의 축응력 σ가 양수이면 인장, 음수이면 압축으로 둡니다. 단면의 x축은 오른쪽, y축은 도심에서 위쪽이 양수입니다. 양의 Mx는 위쪽 y>0을 압축하고 아래쪽 y<0을 인장하므로 다음 부호를 사용합니다.

σ(y) = −Mx y / Ix

다른 교재나 해석기는 모멘트벡터, 단면을 보는 방향, y축 방향을 다르게 정의할 수 있습니다. 식 앞의 부호만 떼어 비교하지 마십시오. 축 화살표, 양의 모멘트, 인장·압축 표시를 한 묶음으로 비교해야 합니다.

평면유지 가정에서 식을 유도한다

Euler–Bernoulli 보이론의 핵심 운동학 가정은 변형 전 평면이던 단면이 변형 후에도 평면으로 남는다는 것입니다. 단면의 회전이 길이방향으로 변하면 곡률 κ가 생기고, 도심축에서 y만큼 떨어진 섬유의 축변형률은

ε(y) = −κy

처럼 선형으로 변합니다. 균질한 선형탄성 재료에서 Hooke 법칙 σ=Eε를 적용하면 σ(y)=−Eκy입니다. 순수휨에는 별도의 축력이 없으므로 응력합력은 0이어야 합니다.

N = ∫A σ dA = −Eκ∫A y dA = 0

따라서 y의 원점은 ∫y dA=0이 되는 면적도심에 놓입니다. 즉, 이 가정 안에서는 중립축이 도심을 지납니다. 응력분포가 만드는 모멘트는

Mx = −∫A σy dA = Eκ∫A y²dA = EκIx

이고, κ=Mx/(EIx)를 응력식에 넣으면 σ=−Mxy/Ix가 됩니다. MIT Solid Mechanics의 보 휨 자료도 평면유지, 선형 변형률, 도심을 지나는 중립축, 모멘트–곡률 관계를 이 순서로 유도합니다.

응력이 0인 곳과 재료가 없는 곳을 혼동하지 않는다

선형식은 같은 y높이에 있는 재료점의 응력이 같다고 말합니다. 그 높이의 단면폭이 넓으면 그 층이 전달하는 합력은 커지지만, 한 점의 응력이 면적 때문에 커지는 것은 아닙니다. T형 단면의 넓은 플랜지는 많은 면적을 도심에서 멀리 배치해 전체 I를 키우므로 결과적으로 모든 점의 휨응력을 낮춥니다.

또한 중립축이 단면의 빈 공간을 지나도 수학적으로 문제없습니다. 중립축은 응력장이 0이 되는 직선이지 반드시 재료선이어야 하는 것은 아닙니다. 구멍이나 개방단면에서는 중립축 일부가 재료 밖에 놓일 수 있습니다.

2단계 — 언제 이 공식을 믿을 수 있는가

σ=−My/I를 적용하기 전에 모델의 범위를 확인해야 합니다.

가정의미깨질 때 필요한 확장

곧고 세장한 보단면치수보다 길이가 충분히 크고 국부효과에서 떨어져 있습니다.짧고 깊은 보, 하중도입부, 노치에는 2D/3D 응력해석이 필요합니다.

작은 변형과 선형탄성E가 일정하고 응력–변형률이 선형입니다.항복 후에는 탄소성 해석과 소성단면 성질을 사용합니다.

평면 단면 유지축변형률이 단면좌표의 선형함수입니다.전단변형·뒤틀림이 중요하면 Timoshenko/warping 이론이 필요합니다.

균질 또는 적절히 환산된 단면하나의 E로 응력과 변형률을 연결합니다.복합재·합성단면은 E가중 중립축과 재료별 응력을 사용합니다.

전역 보 응력Saint-Venant 영역의 공칭응력을 다룹니다.구멍·용접·급격한 단면변화의 응력집중은 별도 상세해석이 필요합니다.

이 식은 순수휨에서 유도하지만, 모멘트가 길이방향으로 서서히 변하는 세장한 보에서도 각 단면의 공학적 휨응력으로 사용합니다. 집중하중 바로 아래, 지점, 단면급변부처럼 3차원 응력장이 강한 곳에서는 그 단면에서 계산한 공칭응력과 실제 국부최대응력을 구분해야 합니다.

3단계 — 6 m 보의 최대모멘트를 T형 단면 응력으로 바꾼다

앞선 모멘트도 예제에서 전단력이 0이 되는 x=3.1667 m에서 다음 최대모멘트를 구했습니다.

Mmax = 26.0556 kN·m = 26.0556×10⁶ N·mm

T형 단면은 플랜지 200 × 20 mm, 웨브 20 × 180 mm이며 전체높이 200 mm입니다. 단면계산 결과는 다음과 같습니다.

성질값의미

A7,600 mm²총면적

ȳ바닥에서 142.6316 mm중립축 높이

Ix28,800,702 mm⁴도심 x축 단면2차모멘트

ctop57.3684 mm도심에서 상단까지 거리

cbottom142.6316 mm도심에서 하단까지 거리

Ztop502,031 mm³Ix/ctop

Zbottom201,924 mm³Ix/cbottom

양의 처짐형 모멘트에서 상단은 압축, 하단은 인장입니다.

σtop = −M/Ztop = −51.90 MPaσbottom = +M/Zbottom = +129.04 MPa

1 N/mm² = 1 MPa이므로 단위를 바로 읽을 수 있습니다. 하단 응력의 절댓값은 상단의 2.486배입니다. 도심이 상부 플랜지 쪽에 있기 때문에 하단이 더 멀고, 같은 선형 기울기에서 더 큰 응력을 받습니다.

단면계수는 응력 계산을 압축한 값이다

최외단응력만 필요할 때 Z=I/c를 사용하면 σ=M/Z가 됩니다. 하지만 단면계수는 특정 축과 특정 끝단에 종속됩니다. T형·채널·비대칭 박스에서는 Ztop과 Zbottom을 따로 기록해야 합니다. 모멘트 부호가 바뀌면 인장·압축측은 뒤바뀌지만 각 위치의 응력크기는 해당 끝단 Z로 결정됩니다.

이 계산에서 “129 MPa가 허용되는가?”는 아직 답할 수 없습니다. 항복강도만 비교해서 끝나는 문제가 아닙니다. 재료규격, 안전계수 또는 하중저항계수, 국부좌굴, 횡비틀림좌굴, 피로, 잔류응력, 연결부와 적용 설계기준을 함께 확인해야 합니다.

4단계 — 축력과 휨을 중첩하면 중립축이 움직인다

도심에 작용하는 축력 N과 한 축 휨이 동시에 있다면 선형탄성 응력은

σ(y) = N/A − Mx y/Ix

입니다. 이 글에서는 인장축력을 양수, 압축축력을 음수로 둡니다. 같은 T형 단면과 최대모멘트에 N=−300 kN을 추가하면 균일 축응력은

N/A = −300,000/7,600 = −39.47 MPa

입니다. 휨응력에 이를 더하면 상단은 −91.37 MPa, 하단은 +89.56 MPa가 됩니다. 응력기울기는 M과 I가 같으므로 변하지 않고, 전체 직선만 압축방향으로 39.47 MPa 이동합니다.

중립축은 σ=0을 풀어 구합니다.

yNA = ȳ + (N/A)Ix/Mx = 바닥에서 99.00 mm

편심축력은 N과 M을 동시에 만든다

도심에서 편심거리 e만큼 떨어진 축력은 도심축에서 M=N e를 함께 만듭니다. 따라서 편심압축부재를 단순히 N/A로만 검토하면 한쪽 끝단응력을 놓칩니다. 반대로 하중선이 단면의 kern 또는 core 안에 있으면 선형탄성 계산상 전 단면을 압축으로 유지할 수 있습니다. 비대칭 단면의 kern은 상·하단 단면계수가 다르므로 도심을 중심으로 대칭이 아닙니다.

5단계 — 이축휨에서는 중립축이 회전한다

하중이 단면 주축과 일치하지 않거나 공간보에 두 방향 모멘트가 동시에 작용하면 각 주축 휨응력을 중첩합니다. x·y가 도심 주축이고 Ixy=0일 때 이 글의 부호규약에서는

σ(x,y) = N/A − Mx y/Ix + My x/Iy

T형 단면은 좌우대칭이므로 도심 x·y축이 주축입니다. 앞의 Mx=26.0556 kN·m에 My=8.0 kN·m를 더해 봅시다. 축력이 없으면 중립축은

−Mx y/Ix + My x/Iy = 0y = 0.65730x, 즉 x축에서 33.32°

로 회전합니다. 최대응력은 더 이상 y거리만 보고 찾을 수 없습니다.

경계점(x, y), mmσ, MPa

플랜지 좌상단(−100, +57.368)−111.37

플랜지 우상단(+100, +57.368)+7.56

웨브 좌하단(−10, −142.632)+123.09

웨브 우하단(+10, −142.632)+134.98

선형 응력장의 최대값은 단면경계에서 찾는다

σ=a x+b y+c는 좌표의 선형함수입니다. 다각형 단면에서는 최대·최소가 경계 꼭짓점 가운데 하나에서 발생합니다. 그래서 T형의 외접사각형 네 모서리를 평가하면 안 됩니다. 그중 일부는 재료가 없는 점입니다. 실제 단면 다각형의 모든 꼭짓점과 원호·곡선 경계의 접선 극값을 평가해야 합니다. 구멍이 있으면 구멍경계도 후보입니다.

6단계 — Ixy가 0이 아닌 비주축에서는 두 방향이 결합된다

L형처럼 현재 x·y축이 주축이 아니면 Ixy를 버릴 수 없습니다. 이 글의 모멘트·응력 부호규약에서

D = Ix Iy − Ixy²a = (Ixy Mx + Ix My)/Db = (−Iy Mx − Ixy My)/Dσ(x,y) = N/A + ax + by

입니다. 주축에서는 Ixy=0이므로 앞의 독립된 이축휨식으로 돌아갑니다. MIT 16.20 일반·비대칭 보 이론 자료는 축력, 두 모멘트, Iy, Iz, 곱관성모멘트를 포함한 일반 응력식을 제시합니다. 자료마다 축문자와 모멘트 부호가 다를 수 있으므로 자신의 평형정의에서 식을 검산해야 합니다.

앞선 글의 100 × 100 × 10 mm 등변 L형은 외곽다리에 평행한 도심축에서 Ix=Iy=1,800,044 mm⁴, Ixy=−1,065,789 mm⁴입니다. 여기에 Mx=5.0 kN·m, My=0만 작용해도 중립축은 x축이 아니라 −30.63°로 기울어집니다. 단면경계의 최대 인장은 +195.33 MPa, 최대 압축은 −257.71 MPa입니다.

7단계 — 실행 가능한 Python으로 모든 결과를 검산한다

아래 코드는 이 글의 부호규약을 함수에 고정합니다. 한 축, 주축 이축, 비주축 일반응력을 따로 계산하고 알려진 결과를 단언문으로 검사합니다.

from math import atan, degrees, isclose # 단위: N, mm, MPa (= N/mm²) A = 7_600.0 ybar_from_bottom = 142.631578947 Ix = 28_800_701.754385963 Iy = 13_453_333.333333334 Mx = 469.0 / 18.0 * 1e6 def uniaxial_bending(y, moment=Mx, inertia=Ix): """y는 도심에서 위쪽이 양수, 인장응력은 양수.""" return -moment * y / inertia def principal_biaxial(x, y, axial=0.0, mx=Mx, my=0.0): return axial / A - mx * y / Ix + my * x / Iy def general_bending(x, y, area, ix, iy, ixy, axial=0.0, mx=0.0, my=0.0): determinant = ix * iy - ixy**2 if determinant <= 0: raise ValueError("section inertia matrix must be positive definite") a = (ixy * mx + ix * my) / determinant b = (-iy * mx - ixy * my) / determinant return axial / area + a * x + b * y # T형 단면의 한 축 휨 c_top = 200.0 - ybar_from_bottom c_bottom = ybar_from_bottom sigma_top = uniaxial_bending(c_top) sigma_bottom = uniaxial_bending(-c_bottom) assert isclose(sigma_top, -51.900335437, abs_tol=1e-9) assert isclose(sigma_bottom, 129.036613792, abs_tol=1e-9) # N = -300 kN 압축 + 같은 Mx N = -300_000.0 combined_top = principal_biaxial(0, c_top, axial=N) combined_bottom = principal_biaxial(0, -c_bottom, axial=N) y_na_from_bottom = ybar_from_bottom + (N / A) * Ix / Mx assert isclose(combined_top, -91.374019648, abs_tol=1e-9) assert isclose(combined_bottom, 89.562929582, abs_tol=1e-9) assert isclose(y_na_from_bottom, 98.999049076, abs_tol=1e-9) # T형 주축 이축휨 My = 8.0e6 t_boundary = { "flange_top_left": (-100.0, c_top), "flange_top_right": (100.0, c_top), "web_bottom_left": (-10.0, -c_bottom), "web_bottom_right": (10.0, -c_bottom), } t_stress = { name: principal_biaxial(x, y, my=My) for name, (x, y) in t_boundary.items() } assert isclose(t_stress["flange_top_left"], -111.365152087, abs_tol=1e-9) assert isclose(t_stress["web_bottom_right"], 134.983095457, abs_tol=1e-9) neutral_axis_angle = degrees(atan(My * Ix / (Mx * Iy))) assert isclose(neutral_axis_angle, 33.316869128, abs_tol=1e-9) # 100×100×10 L형, 비주축에서 순수 Mx l_area = 1_900.0 l_ix = l_iy = 1_800_043.859649123 l_ixy = -1_065_789.473684211 l_centroid = 28.68421052631579 l_vertices = [(0, 0), (100, 0), (100, 10), (10, 10), (10, 100), (0, 100)] l_stress = [ general_bending(x-l_centroid, y-l_centroid, l_area, l_ix, l_iy, l_ixy, mx=5.0e6) for x, y in l_vertices ] assert isclose(max(l_stress), 195.328833403, abs_tol=1e-9) assert isclose(min(l_stress), -257.711959705, abs_tol=1e-9) print(f"T top/bottom: {sigma_top:.2f}, {sigma_bottom:.2f} MPa") print(f"N+M top/bottom: {combined_top:.2f}, {combined_bottom:.2f} MPa") print(f"biaxial neutral-axis angle: {neutral_axis_angle:.2f} deg") print(f"L-angle min/max: {min(l_stress):.2f}, {max(l_stress):.2f} MPa")

이 코드의 핵심은 식을 자동화하는 데 있지 않습니다. 좌표, 단위, 부호를 입력과 함께 고정하고, 기사·계산서·FEA 대조표가 같은 함수의 결과를 사용하게 만드는 데 있습니다. 단언문이 깨지면 그래프를 다시 그리기 전에 좌표계와 단면성질부터 점검해야 합니다.

전문가 단계 — FEA 응력을 손계산과 일치시키는 절차

1. 응력보다 단면력을 먼저 비교한다

손계산의 입력은 특정 위치의 N, Mx, My입니다. 따라서 FEA에서 먼저 같은 절단위치의 축력과 두 모멘트를 추출해 전단력도·모멘트도와 비교합니다. 단면력이 다르면 응력색상을 논할 단계가 아닙니다. 하중, 반력, 요소방향, 출력위치 또는 부호가 이미 어긋난 것입니다.

2. global 축과 beam local 1·2축을 분리한다

Abaqus 보 단면방향 문서는 요소 접선 t와 단면 local 1·2축이 오른손 좌표계를 이루도록 정의합니다. 노드순서를 뒤집으면 접선방향이 뒤집히고, 단면방향 지정에 따라 1·2축도 예상과 다를 수 있습니다. 화면의 전역 Y방향을 곧바로 y로 넣지 말고 실제 local triad를 표시해 확인하십시오.

3. section point 좌표와 충분한 개수를 확인한다

Abaqus General Beam Section 문서는 선형 일반단면의 축응력·축변형률 출력점을 단면 local 1·2좌표로 지정한다고 설명합니다. MAXSS도 사용자가 지정한 section point 값 가운데 최대를 반환하므로, 후보 모서리를 누락하면 실제 최대값보다 작은 수치를 얻을 수 있습니다. T형 단면이라면 상부 플랜지 양끝과 웨브 하단 양끝을 최소 후보로 포함해야 합니다.

4. 도심과 section origin, beam reference line을 구분한다

해석기의 단면원점이 도심이 아닐 수 있고 보 기준선에 offset이 지정될 수도 있습니다. 손계산 y가 도심기준인데 section point 좌표는 사용자 원점기준이면 같은 점을 서로 다른 좌표로 평가하게 됩니다. 단면원점, 도심, 전단중심, 보 절점선의 위치를 한 그림에 표시하십시오.

5. 적분점 값과 절점평균 색상을 구분한다

후처리기의 매끄러운 contour는 요소 적분점 값을 절점으로 외삽하고 주변요소끼리 평균한 결과일 수 있습니다. 손계산과 비교할 때는 먼저 평균하지 않은 요소값, 정확한 section point, 동일 load step과 frame을 사용하십시오. 응력불연속이 예상되는 재료경계나 단면급변부에서 nodal averaging은 오차를 감출 수 있습니다.

6. 요소종류가 제공하는 출력을 확인한다

모든 선요소가 같은 응력출력을 제공하지 않습니다. 일반화된 단면은 지정점의 축응력을 복원할 수 있지만 전단·뒤틀림 응력에는 제한이 있고, 일부 frame 요소는 단면력과 곡률만 제공하며 응력은 직접 출력하지 않습니다. 출력이 없을 때 임의로 solid의 S11과 같은 이름을 기대하지 말고 해당 요소 라이브러리의 출력정의를 확인해야 합니다.

탄성 휨공식을 멈춰야 하는 경계

현상My/I가 놓치는 것다음 모델

첫 항복 이후E가 일정하지 않고 응력이 재분배됩니다.모멘트–곡률 또는 탄소성 단면적분

비균질 합성단면중립축이 단순 면적도심과 다릅니다.E가중 환산단면 또는 층별 재료모델

곡선보원주방향 응력이 y에 선형이 아닙니다.곡선보 이론

짧고 깊은 보전단변형과 복잡한 단면응력이 커집니다.Timoshenko, 2D 또는 3D 연속체

개방 얇은 단면의 비틀림뒤틀림 정상응력이 단순 이축휨에 추가됩니다.warping beam 또는 shell 모델

노치·구멍·용접부공칭응력은 국부응력집중을 나타내지 않습니다.상세 mesh, 피로분류 또는 응력집중계수

횡비틀림·국부좌굴응력이 재료강도보다 낮아도 안정성을 잃습니다.좌굴·기하비선형·설계기준 검토

소성단면계수 Zp는 탄성단면계수 Z=I/c의 개선판이 아닙니다. 전 단면의 인장·압축 응력이 이상화된 항복응력에 도달한 소성응력블록에서 나온 다른 한계상태의 성질입니다. 첫 항복모멘트, 소성모멘트, 형상계수를 구분하지 않고 Z와 Zp를 바꾸어 쓰면 안 됩니다.

설계검토용 체크리스트

단면을 보는 방향과 x·y축의 양의 방향을 그렸는가?

양의 M이 어느 끝단을 인장시키는지 선언했는가?

kN·m를 N·mm로 변환했는가?

I와 y가 같은 길이단위를 사용하는가?

비대칭 단면의 양쪽 c와 Z를 따로 계산했는가?

축력이 있으면 N/A를 부호와 함께 중첩했는가?

이축휨에서는 실제 단면경계의 모든 후보점을 평가했는가?

비주축이면 Ixy를 포함하거나 주축으로 완전히 회전했는가?

FEA의 단면력과 손계산을 같은 위치에서 먼저 비교했는가?

beam local 축, 요소방향, section point 좌표를 확인했는가?

평균하지 않은 적분점 또는 section point 값을 사용했는가?

항복·좌굴·응력집중·뒤틀림이 공칭 탄성휨보다 먼저 지배하지 않는가?

마무리 — 응력색상보다 먼저 좌표와 평형을 본다

휨응력 계산의 중심은 하나의 공식이 아니라 추적 가능한 연결입니다. 하중에서 반력을 구하고, 반력에서 M(x)를 만들고, 단면에서 도심과 I를 계산하고, 같은 좌표계에서 σ(x,y)를 평가합니다. 어느 단계든 축과 부호가 바뀌면 이후 결과가 모두 달라집니다.

좋은 검토자료는 최대응력 하나만 남기지 않습니다. 단면 스케치, local axes, 단면력, 평가점 좌표, A/Ix/Iy/Ixy, 응력식, 단위, 검산코드를 함께 보존합니다. 다음 글에서는 이 휨응력과 전단력을 연결해 τ=VQ/(Ib)를 유도하고, 직사각형·I형·박스단면의 전단응력과 shear flow, 접합부 하중전달까지 확장할 수 있습니다.

공식 참고자료

MIT OpenCourseWare — Stresses: Beams in Bending

MIT OpenCourseWare — General and Unsymmetric Beam Theory

Abaqus Documentation — Beam Element Cross-Section Orientation

Abaqus Documentation — Using a General Beam Section

공학적 주의: 이 글의 수치는 개념과 검산절차를 설명하기 위한 선형탄성 이상화 예제입니다. 실제 구조설계에는 적용 설계기준, 재료와 단면 공차, 하중조합, 안정성, 피로, 연결부와 국부응력 검토가 필요하며 자격 있는 엔지니어의 판단을 대체하지 않습니다.