보의 변형 해석 완전 가이드: EI 곡률부터 단위하중법·Castigliano와 FEA 검증까지

하중·전단력·모멘트·곡률·회전각·처짐의 연결을 세우고, 직접적분·중첩·단위하중·Castigliano 방법과 전단변형을 수치 예제 및 FEA 검증 절차로 통합합니다.

응력이 항복강도보다 낮다고 해서 구조물이 기능을 만족하는 것은 아닙니다. 축이 너무 휘면 베어링 정렬이 틀어지고, 가공기 프레임이 변형되면 공구 위치가 달라지며, 배관 지지대가 내려앉으면 노즐에 예상하지 않은 하중이 전달됩니다. 강도 설계가 “부서지는가”를 묻는다면 변형 해석은 “의도한 위치와 형상을 유지하는가”를 묻습니다.

이미 게시된 단순지지보 처짐 계산은 반력, 휨모멘트와 대표 처짐식을 처음 연결하는 입문편입니다. 이번 글은 그 다음 단계입니다. 하중에서 처짐까지의 미분방정식을 직접 풀고, 표준해를 중첩하며, 원하는 한 점의 변위를 단위하중법과 Castigliano 정리로 계산합니다. 변단면과 전단변형을 포함하고, 마지막에는 손계산과 beam·shell·solid FEA를 같은 기준으로 검증합니다.

학습 결과: 이 글을 마치면 하중–전단력–모멘트–곡률–회전각–처짐의 계산사슬을 만들고, 경계조건과 연속조건을 적용하며, 문제에 맞는 변위 계산법을 선택하고, Euler–Bernoulli 가정이 부족한 경우를 판별하며, FEA의 변위·반력·에너지·메시수렴을 독립적으로 검증할 수 있습니다.

단계핵심 질문설계 판단

1 · 지배식하중이 어떻게 처짐곡선으로 바뀌는가?q→V→M→κ→θ→v를 연결합니다.

2 · 계산법전체 곡선과 한 점 변위 중 무엇이 필요한가?직접적분·중첩·단위하중·에너지법을 구분합니다.

3 · 이론 선택전단변형을 무시해도 되는가?Euler–Bernoulli와 Timoshenko 보를 구분합니다.

4 · 실무 검증FEA의 변위 색상을 바로 믿어도 되는가?평형·기준점·요소이론·수렴을 검사합니다.

1단계 — 하중에서 처짐까지 하나의 계산사슬을 만든다

보의 축을 x, 횡변위를 v(x)라고 합시다. 부호규약에 따라 식의 부호는 달라질 수 있지만, 일관된 규약에서 평형과 변형의 연결은 다음 구조를 가집니다.

dV/dx = −q(x)dM/dx = V(x)κ(x) = M(x)/[E I(x)]dθ/dx ≈ κ(x)dv/dx ≈ θ(x)

즉 분포하중을 적분하면 전단력, 다시 적분하면 휨모멘트가 됩니다. 휨모멘트를 굽힘강성 EI로 나누면 곡률이고, 곡률을 두 번 적분하면 회전각과 처짐이 됩니다. 반대로 계산한 처짐식을 미분하여 M, V, q가 복원되는지 확인하면 강력한 검산이 됩니다.

정확한 곡률과 작은 기울기 근사

평면곡선의 정확한 곡률은 κ=v″/[1+(v′)²]^(3/2)입니다. 선형 보 이론은 회전이 작아 |v′|≪1이라고 보고 κ≈v″로 단순화합니다. 이 근사가 깨질 정도로 처짐과 회전이 크면 변형된 형상이 평형에 영향을 주므로 기하비선형 해석이 필요합니다. 단순히 재료가 탄성이라는 이유만으로 중첩법을 계속 사용할 수 있는 것은 아닙니다.

MIT 2.080 강의자료의 Euler–Bernoulli 가정은 변형 전 평면이 변형 후에도 평면이고, 단면이 보 중심선에 수직으로 남는다는 운동학으로 정리됩니다. 이 가정은 가늘고 긴 보에는 효율적이지만 짧고 두꺼운 보의 전단변형은 표현하지 못합니다.

2단계 — 직접적분법에서는 경계조건과 연속조건이 답을 결정한다

EI v″=M(x)를 두 번 적분하면 적분상수 두 개가 생깁니다. 외팔보 고정단에서는 v(0)=0, θ(0)=v′(0)=0입니다. 단순지지점에서는 변위가 0이지만 회전은 일반적으로 0이 아닙니다. 자유단에 끝모멘트와 끝전단력이 없다면 M(L)=0, V(L)=0입니다. 어떤 조건이 기하학적 조건이고 어떤 조건이 힘 조건인지 구분해야 합니다.

집중하중, 집중모멘트, 단면 변화 때문에 M(x)나 EI(x)가 구간별로 달라지면 각 구간을 따로 적분합니다. 내부 힌지가 아니라 연속된 보라면 구간 경계에서 v와 θ가 연속이어야 합니다. 모멘트는 집중모멘트에서 점프할 수 있고, 전단력은 집중하중에서 점프할 수 있습니다. 모든 구간에 하나의 다항식을 억지로 적용하면 이 물리를 잃습니다.

3단계 — 집중하중과 등분포하중 외팔보를 끝까지 계산한다

길이 L=1500 mm, 직사각형 단면 b=50 mm, h=100 mm, 탄성계수 E=210000 MPa인 외팔보에 끝단 집중하중 P=2000 N과 전 길이 등분포하중 w=2 N/mm가 아래쪽으로 작용한다고 합시다. 모든 계산은 N–mm–MPa 단위계로 통일합니다.

A=bh=5000 mm²I=bh³/12=4,166,666.667 mm⁴EI=875,000,000,000 N·mm²

고정단 반력의 크기는 R=P+wL=5000 N, 최대 휨모멘트는 Mmax=PL+wL²/2=5,250,000 N·mm입니다. 따라서 최대 휨응력은 Mmax(h/2)/I=63.0 MPa입니다. 변형식은 두 하중의 해를 더해

v(x)=P x²(3L−x)/(6EI) + w x²(6L²−4Lx+x²)/(24EI)θ(x)=P x(2L−x)/(2EI) + w x(3L²−3Lx+x²)/(6EI)

가 됩니다. 끝단에서 집중하중 처짐은 δP=2.5714 mm, 등분포하중 처짐은 δw=1.4464 mm, 합계는 δL=4.0179 mm입니다. 끝단 회전은 θL=0.003857 rad, 약 0.221°입니다. 처짐비는 약 L/373이지만 이것만 보고 합격이라고 결론내리면 안 됩니다. 허용처짐은 장비 정렬, 마감재, 배관 연결, 광학 경로, 동적 성능과 적용 설계기준에 따라 달라집니다.

4단계 — 계산법은 원하는 출력과 구조 복잡도에 맞춰 선택한다

직접적분법은 처짐곡선 전체와 회전각 분포가 필요할 때 가장 투명합니다. 중첩법은 선형탄성, 작은 변형, 변하지 않는 경계조건에서 표준 하중 사례를 빠르게 합칩니다. 모멘트 면적법은 M/EI 도형의 면적과 1차 모멘트로 두 점 사이의 회전각 및 접선편차를 구할 때 유용합니다. 단위하중법과 Castigliano 정리는 복잡한 프레임에서 원하는 한 점의 변위나 회전 하나를 구할 때 계산량을 크게 줄입니다.

중첩법의 세 가지 전제

재료 선형성: 응력과 변형률의 관계가 사용 범위에서 선형이어야 합니다.

기하 선형성: 변형 전 형상에서 계산한 평형이 충분히 정확해야 합니다.

경계조건 불변: 접촉이 열리거나 지지가 들리거나 간극이 닫히지 않아야 합니다.

하중이 두 배이면 처짐도 두 배라는 문장은 이 세 조건 안에서만 성립합니다. 케이블 장력, 접촉, 좌굴 전후, 큰 회전 프레임에는 표준 처짐표의 단순합을 적용하지 않습니다.

5단계 — 단위하중법은 원하는 방향의 변위만 뽑아낸다

실제 하중에서 생기는 모멘트를 M(x), 변위를 구하려는 점과 방향에 크기 1의 가상하중을 가했을 때 생기는 모멘트를 m(x)라고 하면, 굽힘에 의한 변위는

δ = ∫ M(x)m(x)/[E I(x)] dx

입니다. 회전을 구하려면 원하는 점과 방향에 단위모멘트를 둡니다. 축력·비틀림·전단변형이 중요하면 문제의 가정에 맞춰 ∫Nn/(EA)dx, ∫Tt/(GJ)dx, ∫Vv*/(κGA)dx를 더합니다. 실제계와 가상계는 반드시 같은 부재 구간, 같은 로컬축, 같은 부호규약으로 적분해야 합니다.

앞의 외팔보에서 고정단으로부터 a=900 mm 지점의 아래쪽 변위를 구해 봅시다. 그 점에 단위하중을 두면 0≤x≤a에서 m(x)=a−x이고, 그 이후에는 0입니다. 따라서

δa=∫₀ᵃ [P(L−x)+w(L−x)²/2](a−x)/(EI) dx=1.7982 mm

입니다. 직접적분 처짐식에 x=900 mm를 대입해도 같은 값이 나옵니다. 이처럼 서로 다른 방법의 일치는 단순 계산기 재입력보다 훨씬 강한 검산입니다.

6단계 — Castigliano 정리는 변형에너지를 하중으로 미분한다

선형탄성 보의 굽힘 변형에너지는

U = ∫ M(x)²/[2E I(x)] dx

입니다. 하중 Q 방향의 변위는 δQ=∂U/∂Q, 모멘트 Q 방향의 회전은 같은 방식으로 구합니다. 원하는 위치에 실제 하중이 없다면 그 방향에 가상하중 Q를 추가하고 M(x,Q)를 만든 뒤 미분하고, 마지막에 Q=0을 대입합니다. 처음부터 0을 넣으면 미분해야 할 의존성이 사라집니다.

앞 예제의 전체 모멘트 크기를 M=P(L−x)+w(L−x)²/2로 두면

U=[P²L³/3 + PwL⁴/4 + w²L⁵/20]/(2EI)∂U/∂P=PL³/(3EI)+wL⁴/(8EI)=4.0179 mm

가 되어 끝단 처짐과 일치합니다. 부정정보에서는 여분 반력을 미지 하중으로 두고 해당 지점의 호환조건, 예를 들어 ∂U/∂R=0을 적용해 반력을 구할 수도 있습니다. 다만 지점침하나 초기 간극이 있으면 우변은 0이 아니라 실제 강제변위가 됩니다.

7단계 — 변단면에서는 평균 I가 아니라 위치별 EI를 적분한다

굽힘에너지는 M²/EI, 단위하중 적분은 Mm/EI로 가중됩니다. 따라서 큰 모멘트가 발생하는 곳에 큰 I를 배치하는 것이 중요합니다. 단면2차모멘트의 단순 산술평균은 이 공간적 가중치를 잃습니다.

길이 1200 mm, E=70000 MPa, 끝단하중 1000 N인 외팔보를 두 구간으로 나눕니다. 절반은 I=8.0×10⁶ mm⁴, 나머지는 I=2.0×10⁶ mm⁴라고 합시다.

단면 배치단위하중 적분 결과의미

큰 I를 고정단 절반에 배치1.4143 mm큰 모멘트 구간을 효과적으로 보강

큰 I를 자유단 절반에 배치3.7286 mm같은 재료량이어도 뿌리 곡률이 큼

산술평균 I=5.0×10⁶ 사용1.6457 mm두 실제 배치 중 어느 것도 정확히 표현하지 못함

테이퍼 보, 보강판이 부분적으로 붙은 프레임, 복합재 적층 또는 온도에 따라 E가 달라지는 부재는 EI(x)를 구간별로 유지해야 합니다. 접합부 슬립이나 볼트·용접부의 국부 유연성은 단순한 단면 I 변화가 아니라 별도의 회전·병진 스프링으로 모델링해야 할 수도 있습니다.

8단계 — 짧고 두꺼운 보는 전단변형을 분리한다

Euler–Bernoulli 보에서는 단면 회전이 처짐곡선의 기울기와 같습니다. Timoshenko 보는 단면 회전과 중심선 기울기의 차이를 전단변형률로 허용합니다. 외팔보 끝단 집중하중의 단순한 Timoshenko 결과는

δtotal = PL³/(3EI) + PL/(κGA)

입니다. 여기서 κ는 단면의 전단보정계수이며 직사각형 단면에서 흔히 5/6을 사용하지만, 형상과 재료에 맞는 값을 확인해야 합니다. 앞의 강재 보는 L/h=15이고 집중하중에 대한 전단처짐은 0.0089 mm로, 집중하중 총처짐의 약 0.35%입니다. 등분포하중 전단처짐 wL²/(2κGA)=0.0067 mm까지 포함해도 전체 영향은 작습니다.

하지만 같은 재료와 직사각형 단면에서 끝단하중을 받는 보의 L/h=5이면 전단변형은 총처짐의 약 3.03%, L/h=2이면 약 16.3%입니다. 이때는 전단변형뿐 아니라 지점 근처의 3차원 응력장 때문에 1차원 보 이론 자체의 정확도도 의심해야 합니다. MIT 자료의 L/h>20, L/h<10 구분과 Abaqus의 대략적인 세장비 지침은 출발점이지 모든 단면·경계조건에 적용되는 절대 기준이 아닙니다.

9단계 — 온도·지점침하·접합부 유연성도 변위 원인이다

FEA와 손계산이 다를 때 메시보다 먼저 모델에 포함된 변형원을 비교해야 합니다. 균일한 온도변화는 자유팽창 αΔTL을 만들고, 두께방향 온도구배는 열곡률을 만듭니다. 부정정 구조에서는 지점침하가 반력과 모멘트를 바꿉니다. 볼트 체결부, 용접부, 접착층, 베어링과 가이드의 유연성은 부재 자체의 EI만으로 설명되지 않을 수 있습니다.

따라서 처짐 요구사항은 측정 기준을 포함해야 합니다. “끝단 처짐 1 mm 이하”보다 “베이스 장착면에 대한 공구 중심점의 Z방향 상대변위 1 mm 이하, 지정 하중조합과 온도에서”가 검증 가능한 요구사항입니다. 강체이동과 구조변형을 섞지 말고, 두 점의 상대변위나 기준 좌표계의 성분으로 정의합니다.

10단계 — FEA는 반력부터 변위까지 같은 물리량으로 비교한다

해석의 색상은 계산 결과를 보여 줄 뿐 모델이 옳다는 증거는 아닙니다. 다음 순서를 지키면 경계조건이나 단위 오류를 메시 문제로 오인하는 일을 줄일 수 있습니다.

단위와 단면: E=210000 N/mm², I=4.1667×10⁶ mm⁴, 길이 1500 mm가 실제 입력과 일치하는지 확인합니다.

보 로컬축: 강축·약축 방향, 단면 기준점, 오프셋과 전단중심을 확인합니다.

요소이론: 가는 보에는 Euler–Bernoulli, 전단변형이 중요한 보에는 shear-flexible/Timoshenko 요소를 선택합니다. shell·solid로 바꾸면 실제 단면과 지점 면적을 모델링합니다.

평형: 전체 반력은 5.000 kN, 고정단 반력모멘트는 5.250 kN·m가 되어야 합니다.

측정점: beam 기준선 끝점의 변위와 shell·solid 단면 중심의 평균 또는 기준점 변위를 비교합니다. 표면 한 절점은 단면 회전 때문에 다른 값을 가집니다.

변위와 회전: 전역 성분 U와 회전 UR의 좌표계·부호를 기록합니다. 변형배율이 실제값인지도 확인합니다.

메시수렴: 요소 수를 늘리며 선택한 끝단 변위와 반력이 안정되는지 봅니다. 분석해 4.0179 mm에 접근해야 하며, 전단변형 요소라면 비교 기준에 전단항을 포함합니다.

에너지와 비선형성: 선형 정적 문제에서 외력일과 내부 변형에너지의 관계를 확인하고, 큰 회전이라면 기하비선형 해석과 선형해의 차이를 별도 평가합니다.

beam, shell, solid 중 무엇을 선택할까

모델강점추가 확인

Beam전체 프레임의 변위와 하중경로를 빠르게 계산단면축, 오프셋, 전단변형, 접합부 강성

Shell얇은 벽의 판 굽힘과 국부 변형을 표현중립면 오프셋, 두께, 접합 상세, 드릴링 회전

Solid지점·접촉·국부 3차원 변형을 표현두께 방향 메시, 하중 도입부, 단면 중심 변위 추출

Abaqus 문서는 cubic Euler–Bernoulli 요소가 전단유연성을 포함하지 않고, 선형·이차 Timoshenko 요소가 횡전단변형을 허용한다고 설명합니다. 요소 이름은 솔버마다 다르므로 “beam”이라는 이름만 보고 가정을 추측하지 말고 사용 중인 솔버의 요소 이론을 확인해야 합니다.

11단계 — Python으로 모든 기준값을 재현한다

다음 코드는 외부 패키지 없이 주 예제의 반력, 모멘트, 응력, 회전각, 직접적분 처짐, 단위하중 결과와 변단면 비교를 재현합니다.

from math import isclose L = 1500.0 # mm b, h = 50.0, 100.0 E = 210_000.0 # N/mm^2 P = 2_000.0 # N w = 2.0 # N/mm A = b*h I = b*h**3/12 EI = E*I reaction = P + w*L root_moment = P*L + w*L**2/2 root_stress = root_moment*(h/2)/I def deflection(x): assert 0.0 <= x <= L tip_load = P*x**2*(3*L-x)/(6*EI) udl = w*x**2*(6*L**2-4*L*x+x**2)/(24*EI) return tip_load + udl def slope(x): assert 0.0 <= x <= L tip_load = P*x*(2*L-x)/(2*EI) udl = w*x*(3*L**2-3*L*x+x**2)/(6*EI) return tip_load + udl def integrate(f, start, end, intervals=200_000): dx = (end-start)/intervals total = 0.5*(f(start)+f(end)) for i in range(1, intervals): total += f(start+i*dx) return total*dx a = 900.0 unit_load_at_a = integrate( lambda x: (P*(L-x)+0.5*w*(L-x)**2)*(a-x)/EI, 0.0, a, ) assert isclose(deflection(L), 4.017857142857143, abs_tol=1e-9) assert isclose(deflection(a), unit_load_at_a, abs_tol=1e-8) print(f"R = {reaction/1000:.3f} kN") print(f"Mroot = {root_moment/1e6:.3f} kN.m") print(f"sigma_root = {root_stress:.3f} MPa") print(f"theta_tip = {slope(L):.6f} rad") print(f"delta_tip = {deflection(L):.4f} mm") print(f"delta_900 = {unit_load_at_a:.4f} mm") # Stepped-EI cantilever: same two segments, different order L2, split, P2, E2 = 1200.0, 600.0, 1000.0, 70_000.0 I_large, I_small = 8.0e6, 2.0e6 def stepped_tip(I_root, I_tip): root = (L2**3-(L2-split)**3)/(3*I_root) tip = (L2-split)**3/(3*I_tip) return P2/E2*(root+tip) print(f"large I at root = {stepped_tip(I_large, I_small):.4f} mm") print(f"large I at tip = {stepped_tip(I_small, I_large):.4f} mm")

12단계 — 제출 전 체크리스트

하중, 반력, V(x), M(x)의 부호규약을 그림과 함께 고정했는가?

E, I, 길이와 하중이 하나의 단위계에 있는가?

고정단·단순지지·자유단의 경계조건을 물리적으로 적용했는가?

구간 경계에서 변위와 회전의 연속조건을 확인했는가?

중첩법의 재료·기하·경계조건 선형성이 유지되는가?

단위하중의 위치와 방향이 원하는 변위 성분과 일치하는가?

변단면의 EI(x)를 평균내지 않고 모멘트가 큰 위치의 가중치를 보존했는가?

전단변형, 열변형, 지점침하와 접합부 유연성이 필요한가?

FEA 반력합과 모멘트합이 외력과 일치하는가?

beam 기준선과 shell·solid의 비교 위치가 같은 물리점인가?

선택한 변위와 회전이 요소형식 및 메시를 바꿔도 수렴하는가?

허용처짐의 기준점·방향·하중조합·온도·적용 규격을 명시했는가?

참고자료와 적용범위

Euler–Bernoulli 운동학과 세장비 논의는 MIT OpenCourseWare 2.080 Structural Mechanics Lecture 2를 확인했습니다. 모멘트–곡률, 직접적분과 단위하중법은 MIT 1.050 Deflections due to Bending, Castigliano 정리는 MIT 3.91 Trusses 자료와 대조했습니다. FEA 요소 가정과 전단변형 기준값은 Dassault Systèmes Abaqus 문서의 Choosing a Beam Element, Shear Flexible Beam Verification, Element Output을 확인했습니다. 자료 확인일은 2026-08-17입니다.

수록 계산은 균질 선형탄성, 작은 변형, 정적하중과 명시된 보 이론을 전제로 한 교육·1차 검증용입니다. 실제 설계에서는 적용 산업의 최신 규격, 실제 재료·접합부 강성, 제작공차, 온도, 크리프, 피로, 진동, 충격, 좌굴, 접촉과 요구 신뢰도를 별도로 검토해야 합니다.