조건부평균스펙트럼 — 지반운동 기록을 무엇에 맞춰 고를 것인가

조건부평균스펙트럼(CMS)은 "관심 주기에서 목표 스펙트럼가속도가 발생했다"는 조건 아래, 나머지 주기에서 기대되는 응답스펙트럼이다. 쓰는 목적은 하나다 — 동적해석에 넣을 지진기록을 고를 때의 목표 스펙트럼으로 쓰는 것이다. 이 논문의 주장은 그 자리에 흔히 쓰이는 균등위험스펙트럼(UHS)이 적절하지 않다는 것이다.

이유는 한 문장으로 요약된다 — UHS는 "큰 진폭의 스펙트럼 값이 하나의 지진기록 안에서 모든 주기에 동시에 나타난다고 보수적으로 가정"한다. 실제 지진기록은 그렇게 생기지 않았다.

이 글은 Jack W. Baker, "Conditional Mean Spectrum: Tool for Ground Motion Selection", Journal of Structural Engineering 137(3): 322–331 (2011)의 본문과 그림을 인용한다. 고른 기록으로 무엇을 하는지는 증분동적해석에서 다뤘다.

1. UHS는 어떤 하나의 지진의 스펙트럼이 아니다

논문은 캘리포니아 리버사이드(위도 33.979, 경도 −117.335) 부지를 예로 든다. 50년 초과확률 2%의 UHS이고, 참고로 ASCE/SEI 7-05의 MCE 설계스펙트럼도 함께 그려 두 곡선이 거의 겹친다는 것을 보인다.

UHS의 구성 방식이 문제의 출발점이다 — UHS는 "모든 주기에서 50년 초과확률 2%로 초과되는 스펙트럼 진폭을 감싸서(enveloping)" 만든다. 각 주기의 값은 맞지만, 그 값들이 한 지진에서 동시에 나온다는 뜻은 아니다.

주기 1초에서 확률론적 지진위험도해석(PSHA)의 해체(deaggregation) 결과가 이를 보여 준다.

항목값

목표 스펙트럼가속도2%/50년의 Sa(1s) = 0.89 g

평균 원인 규모 M7.03

평균 원인 거리 R12.2 km

평균 엡실론 ε2.02

규모 7.03, 거리 12.2 km 지진의 중앙값 예측 스펙트럼에서 Sa(1s)는 0.89 g보다 훨씬 작다. 그 차이가 ε이다. 논문의 표현으로 "중앙값 + 2σ 예측 스펙트럼이 UHS의 Sa(1s) = 0.89 g와 대략 같다".

그리고 결정적인 사실 — 주기 0.2초와 2.0초의 UHS 값은 서로 다른 지진이 만든다. 논문은 세 주기의 해체 결과를 나란히 보이며 "이 세 주기의 UHS 진폭은 다소 다른 지진 사건들에 의해 발생한다"고 적는다. 한 기록 안에서 모든 주기가 동시에 UHS 수준이 되는 일은 실제로는 일어나지 않는다.

2. 엡실론 — 몇 표준편차만큼 큰가

ε의 정의는 단순하다 — 주어진 lnSa가 그 규모·거리에서 예측되는 평균 lnSa로부터 몇 표준편차 떨어져 있는가이다. Sa가 로그정규분포를 따르므로 ε는 평균 0, 표준편차 1의 표준정규 확률변수가 된다.

예제의 ε(1s) = 2.02는 "Sa(1s) = 0.89 g라는 진폭이 원인 지진의 중앙값 예측보다 평균적으로 약 두 표준편차 큰 지반운동에 의해 발생한다"는 뜻이다. 이 값이 큰 이유는 물리가 아니라 확률이다 — 낮은 초과확률의 값은 드문 조합에서 나온다.

ε가 큰 지진기록에는 형태상의 특징이 있다. 목표 주기에서 봉우리를 이루고 다른 주기에서는 상대적으로 낮아진다. UHS를 목표로 기록을 고르면 모든 주기에서 봉우리인 기록을 찾게 되고, 그런 기록은 실제 지진기록 중에 드물거나 없다.

3. CMS를 만드는 네 단계

논문이 제시하는 절차는 네 단계다.

1단계 — 목표 Sa와 M, R, ε 결정. 관심 주기 T*(보통 구조물의 1차 모드 주기)에서 목표 Sa를 정하고, PSHA 해체의 평균 M, R, ε(T*)를 가져온다. 시나리오 기반이라면 ε는 "목표 Sa가 중앙값 예측보다 몇 표준편차 큰가"이며, 이런 결정론적 평가에서는 ε = 1(중앙값 + 1σ)을 쓰는 경우가 많다.

2단계 — 그 M, R에 대한 전 주기의 평균과 표준편차 계산. 지반운동 예측모델(감쇠식)로 lnSa의 평균과 표준편차를 모든 주기에서 구한다.

3단계 — 다른 주기의 ε를 조건부로 계산. 다른 주기의 조건부 평균 ε는 ε(T*)에 두 주기 사이의 상관계수를 곱한 값이다. 논문은 예측식을 제시한다.

4단계 — CMS 계산. 2단계의 평균·표준편차와 3단계의 조건부 ε를 합쳐 스펙트럼을 만든다.

3단계의 상관계수가 CMS의 모양을 결정한다. 예제에서 ε(1s)와 ε(0.2s)의 상관계수는 0.44이다. 상관이 약할수록 그 주기의 조건부 ε는 0에 가까워지고, CMS는 중앙값 예측 스펙트럼(ε = 0)으로 수렴한다. 즉 CMS는 T*에서 UHS와 만나고, T*에서 멀어질수록 중앙값 쪽으로 내려온다.

4. 목표 스펙트럼을 바꾸면 결과가 얼마나 달라지는가

논문은 이 변경이 구조 응답에 미친 영향을 선행 연구들의 숫자로 정리한다.

대상보고된 차이

현행 기준으로 설계된 건물들 (ATC 2008)CMS 효과를 반영하면 중앙값 붕괴용량이 최대 60% 증가 — UHS 형태의 기록을 쓴 해석 대비

목표 형태를 ε(T*) = 0에서 2로 바꿀 때구조물에 따라 중앙값 붕괴용량 40~80% 증가

연간 붕괴확률지반운동의 발생률이 진폭에 따라 급격히 감소하므로, 위 증가는 연간 붕괴확률의 한 자릿수 감소로 이어진다

붕괴가 아닌 응답ε 효과를 무시하면 평균 구조응답을 30~60% 과대평가

목표 스펙트럼의 형태 하나가 붕괴용량을 두 배 가까이 움직인다. 해석 모델도, 기록의 개수도, 스케일링 방법도 바꾸지 않고 무엇을 목표로 기록을 골랐는가만 바꾼 결과다.

5. CMS는 평균일 뿐이다

논문은 이 방법의 경계도 분명히 긋는다 — "위 절차는 Sa(T*)가 주어졌을 때의 평균 구조응답을 정확히 추정하는 것으로 보였지만, 많은 평가에서는 응답의 변동성도 관심 대상이다". 그리고 문제를 짚는다 — "CMS는 평균 스펙트럼일 뿐이고, 주어진 Sa(T*)에 대한 응답스펙트럼의 변동성을 다루지 않는다".

그 변동성은 상관계수로 표현된다 — 어떤 주기 Ti에서 ε의 조건부 표준편차는 √(1 − ρ²)이다. T*에서는 ρ = 1이므로 변동성이 0이고, 멀어질수록 ρ가 작아져 변동성이 1에 가까워진다. 목표에서 멀어진 주기일수록 기록들이 넓게 흩어진다는 뜻이고, 이 흩어짐을 살려야 응답의 변동성이 제대로 나온다.

6. 한 세트로는 안 된다

CMS는 하나의 주기에 조건부이므로, 다른 주기가 지배하는 응답에는 다른 CMS가 필요하다. 논문은 그 이유를 명확히 한다 — "바닥 가속도와 상층부 전단력은 1차 모드보다 고차 모드 가진에 더 민감할 수 있다".

그래서 여러 T*에 대해 각각 CMS를 만들고 각각의 기록 세트를 골라 해석한 뒤, 어느 T*가 그 응답량에 대해 가장 불리한지를 확인해 설계값으로 쓴다. 그리고 "서로 다른 응답량의 설계값이 같은 CMS에서 나오지 않을 수 있다".

이 접근의 밑에 깔린 명제가 이 논문에서 가장 중요한 문장이다.

실제 지진기록의 스펙트럼 형태를 유지하면서, 모든 주기에 대해 등가의 위험수준을 대표하는 단일 지반운동 집합을 고르는 것은 불가능하다. — Baker (2011)

실제 지진기록의 스펙트럼 형태를 유지하면서, 모든 주기에 대해 등가의 위험수준을 대표하는 단일 지반운동 집합을 고르는 것은 불가능하다. — Baker (2011)

그림 4가 근거다 — 1초에서 Sa가 가장 큰 기록은 0.2초나 2초에서 가장 큰 기록이 아니다.

그리고 논문은 UHS를 완전히 버리지 않는다. 구조 설계가 끝나기 전에 기록을 골라야 하거나, 여러 구조물에 같은 기록 세트를 쓰려는 경우에는 "UHS가 고려 주기에 무관하다는 점에서 바람직한 도구일 수 있다 — 모든 주기의 설계 Sa를 감싼다는 보수성을 대가로". 선택은 편의와 보수성 대 추가 해석과 정확성 사이의 절충이다.

7. 정리

UHS는 모든 주기의 큰 값을 감싸서 만든 포락선이며, 그 값들이 한 지진에서 동시에 나온다는 뜻이 아니다.

리버사이드 예제에서 2%/50년 Sa(1s) = 0.89 g의 원인은 평균 M 7.03, R 12.2 km, ε 2.02이고, 중앙값 + 2σ가 그 값과 대략 같다.

ε는 lnSa가 예측 평균에서 몇 표준편차 떨어졌는가이며, 평균 0·표준편차 1의 표준정규 변수다.

CMS는 네 단계로 만든다 — 목표 Sa와 해체의 M·R·ε → 전 주기 평균·표준편차 → 상관계수를 곱한 조건부 ε → CMS.

다른 주기의 조건부 ε는 ε(T*) × 상관계수이므로, 상관이 약한 주기에서는 CMS가 중앙값 스펙트럼으로 내려온다. 예제의 ρ(1s, 0.2s) = 0.44.

CMS를 쓰면 중앙값 붕괴용량이 최대 60% 증가하고, ε(T*)를 0에서 2로 바꾸면 40~80% 증가한다.

이 차이는 연간 붕괴확률의 한 자릿수 감소로 이어지고, 붕괴가 아닌 응답에서는 ε를 무시할 때 30~60% 과대평가가 생긴다.

CMS는 평균 스펙트럼일 뿐이고, ε의 조건부 표준편차는 √(1 − ρ²)로 T*에서 멀어질수록 커진다.

모든 주기에 대해 등가 위험수준을 대표하는 단일 기록 집합은 존재하지 않는다 — 여러 T*의 CMS와 여러 기록 세트가 필요하다.

실무의 관점에서 이 논문이 요구하는 것은 계산이 아니라 순서의 변경이다. 기록 선정을 설계 이전의 행정 절차가 아니라, 구조물의 주기와 관심 응답량이 정해진 뒤의 해석 조건으로 다루라는 것이다. 그 대가로 얻는 것은 보수성의 제거이고, 치르는 비용은 T*마다 별도의 기록 세트와 별도의 해석이다.