부정정 구조해석 완전 가이드: 변형 적합조건부터 힘법·처짐각법·모멘트분배법·행렬강성법과 FEA 검증까지

정정 구조에서는 자유물체도와 평형방정식만으로 반력과 부재력을 구할 수 있습니다. 하지만 연속보처럼 필요한 것보다 지점이 하나 더 있으면 평형식은 모든 미지수를 결정하지 못합니다. 부족한 식은 재료강성과 변형조건에서 나옵니다. 중앙지점 B가 존재한다는 말은 단순히 반력 하나가 추가된다는 뜻이 아니라, B점의 수직변위가 0이어야 한다는 적합조건이 구조 전체의 반력과 모멘트를 다시 배분한다는 뜻입니다.

이 글은 A–B–C 두 경간 연속보 하나를 끝까지 사용합니다. 각 경간은 6 m, A는 핀, B는 수직지점, C는 롤러입니다. 두 경간 모두 아래 방향 등분포하중 w=20 kN/m을 받고, 휨강성은 EI=160,000 kN·m²로 일정합니다. 이는 교육용으로 E=200 GPa, I=8.0×10⁻⁴ m⁴를 곱한 값입니다. 힘법, 처짐각법, 모멘트분배법과 행렬강성법이 모두 RA/RB/RC=45/150/45 kN, 중앙지점 모멘트 MB=−90 kN·m에 도달하는 과정을 독립적으로 검산합니다.

규정 경계: 이 글은 주어진 하중에 대한 1차 선형 탄성 구조해석입니다. 법정 고정하중·활하중, 하중계수와 조합, 허용처짐, 균열강성, 크리프·건조수축, 내진상세, 강도감소계수, 단면 저항과 베어링 설계는 계산하지 않습니다. 실제 설계에서는 KDS, ACI, AISC, Eurocode 등 프로젝트에 적용되는 규정과 판본을 먼저 정한 뒤 하중·강성·한계상태를 그 규정대로 적용해야 합니다.

1단계 — 해석 경로보다 먼저 구조계와 질문을 고정한다

부정정 구조해석의 목표는 “복잡한 공식을 쓰는 것”이 아닙니다. 지점과 연결, 부재강성, 하중, 구속변위를 정의하고 평형·적합·재료관계를 동시에 만족하는 응답을 찾는 것입니다. 힘법은 미지 힘을 주변수로, 변위법은 미지 절점변위를 주변수로 선택합니다. 출발점은 달라도 같은 선형 구조와 같은 부호를 사용하면 결과는 같아야 합니다.

고정할 항목이 글의 값잘못 정의하면 생기는 문제

구조와 경간A–B–C, 6 m + 6 m강성·반력·모멘트 위치가 달라짐

지점A 핀, B 수직구속, C 롤러고정단으로 오인하면 회전구속 추가

하중두 경간 각각 20 kN/m패턴 재하와 전 경간 재하 혼동

강성EI=160,000 kN·m², 일정부정정력 재분배 오류

부호새깅 +, 호깅 −부재단 모멘트와 단면모멘트 혼동

2단계 — 부정정차수는 ‘평형식이 몇 개 부족한가’다

평면 전체 구조의 독립 평형식은 ΣFx=0, ΣFy=0, ΣM=0 세 개입니다. A 핀의 Ax, Ay, B와 C의 수직반력 By, Cy를 합하면 미지 반력 성분은 네 개입니다. 따라서 외적 부정정차수는 4−3=1입니다. 수평하중이 없으므로 Ax=0을 즉시 알 수 있어도 구조계 자체가 가진 여분 구속은 B의 수직지점 하나입니다.

단순히 지점 개수를 세는 방식은 프레임·힌지·내부 폐합이 있는 구조에서 실패합니다. 부정정차수는 독립 미지력 수와 독립 평형식 수의 차이이며, 구조가 안정하다는 전제가 필요합니다. 여분 구속을 제거한 기본계가 기구가 되면 그 여력 선택은 사용할 수 없습니다.

3단계 — 평형·적합·재료관계가 함께 있어야 해가 닫힌다

정정 구조는 평형만으로 내력을 구할 수 있으므로 이상적인 선형 탄성 범위에서는 EI가 반력에 영향을 주지 않습니다. 부정정 구조에서는 반력이 변형 적합을 통해 결정되므로 EI의 상대분포, 지점침하와 온도변형이 내력에 직접 들어갑니다. 세 종류의 식을 분리해 적으면 오류가 줄어듭니다.

식의 종류역할이 예제

평형외력·반력·부재단력의 합RA+RB+RC=240 kN

적합연결과 지점이 요구하는 변위vA=vB=vC=0, B 회전 연속

재료·부재관계힘과 변위 연결곡률 κ=M/EI, q=ku+q⁰

선형 해석의 유일한 해는 이 세 집합을 동시에 만족해야 합니다. 반력합이 맞아도 B점 변위가 0이 아니면 원래 연속보의 해가 아닙니다. 반대로 변위가 0이더라도 부재단 모멘트가 절점평형을 만족하지 않으면 조립이나 부호가 잘못된 것입니다.

4단계 — 힘법은 여분 구속을 풀어 정정 기본계를 만든다

힘법, 유연도법, 일관변형법은 같은 계열의 이름입니다. B의 수직지점을 제거하면 A–C 사이 12 m 단순보가 됩니다. 외력에 의한 B점 아래방향 처짐을 δL, B에 위쪽 단위하중을 가했을 때 그 방향 유연도계수를 fBB, 복원할 미지 반력을 RB라 둡니다. 원래 지점이 침하하지 않는다면 적합식은 δL−RB fBB=0입니다.

여력을 반대로 정의하면 식의 부호도 바뀌지만 결과 물리는 같습니다. 중요한 것은 외력 처짐과 단위하중 처짐의 양의 방향을 처음부터 끝까지 동일하게 쓰는 것입니다. 여력이 여러 개면 {δ⁰}+[f]{X}={Δspecified}라는 유연도 행렬식이 되며, Maxwell–Betti 상반성 때문에 선형 탄성계의 fij=fji입니다.

5단계 — 중앙 반력 150 kN을 변형 적합으로 구한다

12 m 단순보 전체에 20 kN/m가 작용할 때 중앙의 최대 처짐 크기는 δL=5wL⁴/(384EI)입니다. 여기서 L은 전체 12 m이므로 δL=5·20·12⁴/(384EI)=5400/EI입니다. 같은 단순보 중앙에 단위 집중하중을 놓았을 때 중앙 유연도는 fBB=L³/(48EI)=12³/(48EI)=36/EI입니다.

적합식에 대입하면 RB=(5400/EI)/(36/EI)=150 kN입니다. 일정한 EI가 분자와 분모에서 소거됩니다. 이것은 모든 부정정 구조에서 EI가 무관하다는 뜻이 아니라, 이번 대칭 기본계에서 외력 처짐과 단위하중 유연도가 같은 EI에 비례하기 때문입니다.

이제 전체 평형과 대칭에서 RA=RC=(240−150)/2=45 kN입니다. 힘법은 한 개 여력에서는 손계산이 매우 짧지만, 여력 수가 n이면 n×n 유연도 행렬과 n개의 기본계 변위계수가 필요합니다. 큰 구조에서는 변위법이 더 자연스러운 이유입니다.

6단계 — 반력으로 전단력과 모멘트를 독립 재구성한다

왼쪽 경간에서 V(x)=45−20x, M(x)=45x−10x²입니다. B 바로 왼쪽에서 전단은 −75 kN, 모멘트는 45·6−10·6²=−90 kN·m입니다. B의 150 kN 반력 때문에 전단은 −75에서 +75 kN으로 점프하고, 모멘트는 연속입니다. 오른쪽 경간은 대칭입니다.

검증량위치값

반력A / B / C45 / 150 / 45 kN

전단 0A에서 x=45/202.25 m

최대 정모멘트x=2.25, 9.75 m+50.625 kN·m

변곡점x=4.5, 7.5 mM=0

중앙 부모멘트x=6 m−90 kN·m

7단계 — 최대모멘트·변곡점·처짐을 같은 식에서 찾는다

정모멘트 최대는 dM/dx=V=0에서 생기므로 왼쪽 경간에서 x=2.25 m입니다. M=45·2.25−10·2.25²=50.625 kN·m입니다. 변곡점은 M=x(45−10x)=0에서 A 외에 x=4.5 m입니다. 오른쪽은 대칭으로 전체 좌표 7.5 m에 변곡점이 있습니다.

EI v″=M을 두 번 적분하고 v(0)=v(6)=0을 적용하면 왼쪽 경간에서 EI·v=7.5x³−(5/6)x⁴−90x입니다. 회전 0이 되는 내부점은 x=2.529210992 m이고, EI=160,000 kN·m²일 때 최대 아래방향 처짐은 −0.877411700 mm입니다. 최대모멘트 위치와 최대처짐 위치가 같지 않다는 점이 중요합니다.

한 개의 보 요소로도 이 예제의 정확한 절점반력과 부재단 모멘트를 얻을 수 있지만, 요소의 3차 변위보간만 그리면 등분포하중에 의한 4차 내부 처짐곡선을 정확히 표시하지 못할 수 있습니다. 내부 처짐이 중요하면 요소를 분할하거나 하중에 의한 정확한 particular solution을 결과복원에 포함해야 합니다.

8단계 — 처짐각법은 부재단 모멘트를 절점 회전으로 표현한다

일정 EI인 부재 ij의 일반 처짐각식은 선택한 부호규칙 아래 Mij=Mij,F+(2EI/L)(2θi+θj−3ψij), Mji=Mji,F+(2EI/L)(2θj+θi−3ψij)입니다. M,F는 양 끝이 회전하지 못할 때의 고정단모멘트, θ는 절점회전, ψ는 지점 상대침하에 의한 부재 현 회전입니다.

이 예제는 지점침하가 없으므로 ψ=0입니다. 시계/반시계 부재단 부호를 명시하면 AB의 고정단모멘트는 MAB,F=−60, MBA,F=+60 kN·m, BC는 MBC,F=−60, MCB,F=+60 kN·m입니다. A와 C는 힌지이므로 MAB=MCB=0, B절점 외력모멘트가 없으므로 MBA+MBC=0입니다.

연립하면 θA=−0.0005625 rad, θB=0, θC=+0.0005625 rad입니다. 부재단 모멘트는 MAB=0, MBA=+90, MBC=−90, MCB=0 kN·m입니다. B의 같은 단면에 작용하는 두 부재단 모멘트는 작용방향이 반대여서 절점에서 평형을 이루고, 단면도에서는 하나의 호깅모멘트 −90 kN·m로 표시됩니다.

9단계 — 대칭은 계산 단축키이지만 검산을 대신하지 않는다

기하, EI, 하중과 지점조건이 B를 기준으로 대칭이므로 변형형상도 대칭이고 B의 접선은 수평입니다. 따라서 θB=0, RA=RC를 계산 전에 예측할 수 있습니다. 해석 결과가 이 조건을 위반하면 방정식을 더 풀기 전에 입력 비대칭, 요소 방향, 부호와 조립을 확인해야 합니다.

그러나 대칭 절반모델을 만들 때 B를 고정단으로 바꾸면 안 됩니다. 대칭면 조건은 해당 문제의 변위 대칭에서 유도되어야 합니다. 하중이 한 경간에만 놓이거나 EI가 달라지면 θB는 0이 아니므로 같은 절반모델을 재사용할 수 없습니다.

10단계 — 모멘트분배법은 절점의 불평형을 반복해서 없앤다

Hardy Cross의 모멘트분배법은 처짐각법 연립방정식을 손계산에 적합한 반복형태로 푼 것입니다. 절점을 잠가 고정단모멘트를 만든 뒤, 각 절점의 불평형모멘트를 연결 부재의 회전강성에 비례해 분배하고, 분배된 모멘트의 일부를 반대쪽 끝으로 전달합니다. 프리즘 부재의 반대쪽 끝이 고정이면 회전강성은 4EI/L, 힌지이면 3EI/L, 고정단 전달률은 1/2입니다.

이번 구조는 양쪽 경간의 강성이 같아 B의 분배율은 각각 0.5입니다. A와 C의 힌지를 해제하면 각 끝의 −60/+60 고정단모멘트가 0이 되고 절반인 30 kN·m가 B로 전달됩니다. 최종 부재단 모멘트는 0, +90, −90, 0입니다. 대칭 때문에 B의 합은 즉시 0이지만, 비대칭 구조에서는 분배와 전달을 수렴할 때까지 반복합니다.

11단계 — 패턴 재하는 전 경간 재하보다 더 불리한 응답을 만들 수 있다

활하중은 항상 모든 경간에 동시에 존재하지 않습니다. 같은 20 kN/m를 왼쪽 경간 AB에만 놓으면 강성법 결과는 RA=52.5 kN, RB=75.0 kN, RC=−7.5 kN, 중앙지점 모멘트 MB=−45 kN·m입니다. 왼쪽 경간의 최대 정모멘트는 A에서 2.625 m 위치의 68.90625 kN·m로, 두 경간을 모두 재하했을 때의 50.625보다 큽니다.

RC=−7.5 kN은 C지점이 구조를 아래로 당겨야 선형 호환조건을 만족한다는 뜻입니다. 실제 단순 베어링이 인장력을 전달하지 못하면 들림이 발생하고 C의 수직구속이 사라집니다. 그 순간 구조 토폴로지가 바뀌므로 기존 영향선과 선형 중첩 결과는 더 이상 유효하지 않습니다. 자중과 다른 상시하중을 포함한 설계 조합, 앵커 또는 홀드다운, 접촉 비선형을 적용 규정에 따라 별도로 검토해야 합니다.

12단계 — EI는 절대값과 상대값에서 서로 다른 역할을 한다

모든 부재의 EI를 같은 배수로 키우면 선형 탄성 정적 부정정력은 대체로 그대로이고 회전과 처짐은 그 배수에 반비례합니다. 이는 강성행렬과 고정단 등가하중의 균형에서 전체 강성 배율이 소거되기 때문입니다. 이번 예제에서 EI를 두 배로 하면 반력과 모멘트는 같고 처짐과 회전은 절반이 됩니다.

반면 한 경간의 EI만 바꾸면 절점 회전을 억제하는 비율이 달라져 모멘트와 반력이 재분배됩니다. 균열된 철근콘크리트, 합성 전후 단계, 가변단면, 손상 또는 보강부에서는 어떤 유효 EI를 어느 구간에 쓰는지가 핵심 모델 결정입니다. 총 EI 값만 기록하지 말고 부재별 EI, 적용 단계와 근거를 남겨야 합니다.

13단계 — 지점침하·온도·제작오차는 외력이 없어도 부정정력을 만든다

정정 구조는 지점이 조금 움직여도 강체운동 또는 형상변화만 생기고 추가 내력이 생기지 않는 경우가 많습니다. 부정정 구조에서는 적합조건 때문에 지정변위가 내력으로 변환됩니다. 처짐각식의 ψ=Δ/L 또는 행렬식의 구속 자유도 uc를 포함하면 자유 자유도 방정식은 Kff uf=Ff−Kfc uc가 됩니다. 지점침하를 외력처럼 임의 환산하지 말고 알려진 변위로 적용해야 합니다.

균일 온도변화는 축방향 팽창이 자유로우면 휨을 만들지 않지만, 축구속이 있거나 온도구배가 단면에 곡률을 만들면 반력과 모멘트가 생깁니다. 제작 길이오차, 프리스트레인, 크리프·건조수축도 같은 “초기변형” 범주로 볼 수 있습니다. NPTEL의 처짐각법 자료도 지점침하에 따른 부재 현 회전과 일관된 부호를 일반식에 포함합니다.

14단계 — 힘법과 변위법은 구조 크기에 따라 선택한다

비교힘법변위법·강성법

주 미지수여력 X자유 절점변위 u

방정식 수정적 부정정차수운동학적 부정정차수

기본 구조안정한 정정계 필요요소망과 경계조건

핵심 행렬유연도 [f]강성 [K]

장점여력 적을 때 물리적·간결대형 구조 자동조립에 적합

주의점여력 선택과 기본계 안정성자유도·등가절점하중·구속

이번 구조는 정적 부정정차수 1이므로 힘법이 가장 짧습니다. 하지만 회전 자유도도 A, B, C 세 개뿐이어서 변위법도 간단합니다. 큰 프레임에서는 여력 수가 급증하고 기본계를 구성하기 어려워 직접강성법이 표준이 됩니다. 손계산 방법은 오래된 대체재가 아니라, 컴퓨터 모델의 물리와 부호를 검증하는 서로 다른 관측창입니다.

15단계 — 행렬강성법은 요소의 힘–변위 관계를 공통 자유도에 조립한다

Euler–Bernoulli 보 요소의 자유도는 [vi, θi, vj, θj]입니다. 굽힘강성행렬은 (EI/L³)[[12,6L,−12,6L],[6L,4L²,−6L,2L²],[−12,−6L,12,−6L],[6L,2L²,−6L,4L²]]입니다. 아래 방향 w의 일관 등가절점하중은 이 글의 좌표계에서 [−wL/2, −wL²/12, −wL/2, +wL²/12]입니다.

AB와 BC 요소행렬을 A, B, C의 공통 자유도에 더하면 전체 K가 됩니다. vA=vB=vC=0을 구속하고 θA, θB, θC를 풀면 회전은 [−0.0005625, 0, +0.0005625] rad입니다. 반력은 R=Ku−F의 구속 자유도 성분이며, 요소단력은 qe=ke ue−fe입니다.

16단계 — 실행 가능한 Python 코드로 전체 계산을 재현한다

아래 코드는 외부 패키지, 프로젝트 키, 파일명 치환이 필요 없습니다. continuous_beam.py로 저장하고 python3 continuous_beam.py를 실행하면 됩니다. 두 Euler–Bernoulli 요소를 조립하고 전 경간 재하와 한 경간 패턴 재하를 모두 풀며, 힘법의 중앙반력과 해석식의 모멘트·처짐을 교차검증합니다.

from math import isclose, sqrt L, W, EI = 6.0, 20.0, 160_000.0 # m, kN/m, kN*m^2 def solve(matrix, vector): a = [row[:] + [rhs] for row, rhs in zip(matrix, vector)] n = len(a) for col in range(n): pivot = max(range(col, n), key=lambda r: abs(a[r][col])) a[col], a[pivot] = a[pivot], a[col] scale = a[col][col] if abs(scale) < 1e-12: raise ValueError("singular stiffness matrix") for j in range(col, n + 1): a[col][j] /= scale for row in range(n): if row == col: continue scale = a[row][col] for j in range(col, n + 1): a[row][j] -= scale*a[col][j] return [a[i][-1] for i in range(n)] def beam_k(length, flexural_rigidity): q = flexural_rigidity/length**3 return [[12*q,6*length*q,-12*q,6*length*q], [6*length*q,4*length**2*q,-6*length*q,2*length**2*q], [-12*q,-6*length*q,12*q,-6*length*q], [6*length*q,2*length**2*q,-6*length*q,4*length**2*q]] def udl_vector(length, load): # Vertical displacement is positive upward; rotation is counterclockwise. return [-load*length/2, -load*length**2/12, -load*length/2, load*length**2/12] def analyse(span_loads): K = [[0.0]*6 for _ in range(6)] F = [0.0]*6 elements = [] for element, load in enumerate(span_loads): dof = [2*element, 2*element+1, 2*element+2, 2*element+3] ke, fe = beam_k(L, EI), udl_vector(L, load) elements.append((dof, ke, fe)) for i, I in enumerate(dof): F[I] += fe[i] for j, J in enumerate(dof): K[I][J] += ke[i][j] fixed, free = [0, 2, 4], [1, 3, 5] uf = solve([[K[i][j] for j in free] for i in free], [F[i] for i in free]) u = [0.0]*6 for dof, value in zip(free, uf): u[dof] = value residual = [sum(K[i][j]*u[j] for j in range(6))-F[i] for i in range(6)] end_forces = [] for dof, ke, fe in elements: ue = [u[i] for i in dof] end_forces.append([sum(ke[i][j]*ue[j] for j in range(4))-fe[i] for i in range(4)]) return u, residual, end_forces u, reactions, ends = analyse((W, W)) up, reactions_p, ends_p = analyse((W, 0.0)) # Independent force-method check on the released 12 m simple beam. span = 2*L delta_load = 5*W*span**4/(384*EI) f_BB = span**3/(48*EI) RB_force_method = delta_load/f_BB x_m = reactions[0]/W M_positive = reactions[0]*x_m-W*x_m**2/2 x_v = (15+sqrt(7425))/40 EI_v = 7.5*x_v**3-(5/6)*x_v**4-90*x_v v_mm = EI_v/EI*1000 print("rotations [rad]", [u[i] for i in (1,3,5)]) print("reactions [kN]", [reactions[i] for i in (0,2,4)]) print("element end forces [Vi,Mi,Vj,Mj]", ends) print(f"force-method RB = {RB_force_method:.6f} kN") print(f"M+ = {M_positive:.6f} kN*m at x={x_m:.6f} m") print(f"vmax = {v_mm:.9f} mm at x={x_v:.9f} m") print("left-only reactions [kN]", [reactions_p[i] for i in (0,2,4)]) expected = (45.0,150.0,45.0,-90.0,50.625,150.0,52.5,75.0,-7.5,-45.0) actual = (reactions[0],reactions[2],reactions[4],ends[0][3],M_positive, RB_force_method,reactions_p[0],reactions_p[2],reactions_p[4],ends_p[0][3]) for value, target in zip(actual, expected): assert isclose(value, target, abs_tol=1e-9), (value, target) print("all reference checks passed")

17단계 — FEA 모델은 손계산과 같은 자유도를 가져야 한다

OpenSees의 elasticBeamColumn처럼 탄성 보–기둥 요소를 사용할 때는 노드, 단면적 A, 탄성계수 E, 단면2차모멘트 I, 좌표변환과 요소 방향을 명시합니다. 순수 굽힘 교육모델이라도 프로그램이 축방향 자유도를 요구하면 강체운동을 막는 최소 축구속이 필요합니다. A·C를 고정단으로 지정하지 말고 회전은 자유롭게 두며, B에서도 수직변위만 구속합니다.

Euler–Bernoulli 모델은 단면이 중립축에 수직을 유지하고 전단변형을 무시합니다. 깊은 보, 낮은 전단강성, 샌드위치·복합재 또는 짧은 부재에서는 Timoshenko 요소와 전단잠김 여부를 검토합니다. 강재인지 콘크리트인지보다 먼저 세장비와 요구 응답에 맞는 요소이론을 선택해야 합니다.

검증 항목기준값불일치 시 우선 확인

총 수직반력240 kN등가절점하중, 하중 방향

A/B/C 반력45/150/45 kN회전구속, 노드 병합

B 단면모멘트−90 kN·m요소단 방향과 부호

경간 최대 M+50.625 kN·m요소 내부력 복원 위치

A/B/C 회전−0.0005625/0/+0.0005625 radEI 단위, 대칭 입력

최대 처짐−0.877411700 mm내부 처짐 복원, 메시

자유 DOF 잔차수치 허용오차 이내조립, 솔버, 구속

18단계 — 선형해석이 실패하는 경계를 결과에서 읽는다

패턴 재하에서 음의 반력이 나오면 인장력을 전달하지 못하는 베어링의 접촉상태가 바뀔 수 있습니다. 균열로 EI가 하중수준에 따라 달라지거나, 소성힌지가 형성되거나, P–Δ 효과가 커지면 K가 고정된 선형 중첩은 더 이상 충분하지 않습니다. 이때 필요한 것은 결과에 임의 계수를 곱하는 것이 아니라 접촉, 재료비선형, 기하비선형과 하중경로를 포함한 새 모델입니다.

고유치 좌굴이나 비선형해석 결과도 기본 평형검사를 면제하지 않습니다. 비선형 모델은 선형 탄성 작은 하중에서 이 글의 기준값으로 수렴해야 합니다. 연결된 지점 하나를 해제했을 때 기대한 기본계가 되는지, 하중을 절반으로 줄였을 때 응답이 절반이 되는지, 메시를 세분했을 때 관심 응답이 수렴하는지를 단계적으로 확인합니다.

19단계 — 계산서에는 결과값과 함께 재현 경로를 남긴다

최종 계산서에는 구조 스케치, 좌표와 단위, 지점 자유도, 부재별 E·I·A, 하중 케이스와 패턴, 부호규칙, 선형/비선형 가정, 선택한 기본계 또는 전체 자유도표, 하중벡터 형식, 반력과 부재단력 추출 규칙을 기록합니다. “FEA 결과 −90”만으로는 그것이 B 왼쪽 요소 끝의 로컬모멘트인지 전역 단면 호깅모멘트인지 알 수 없습니다.

완료 조건통과 기준

평형반력합·모멘트합·절점 모멘트합이 허용오차 이내

적합지점변위와 연결 회전 연속성이 의도와 일치

독립해힘법 RB와 강성법 RB가 일치

단면력전단 적분과 요소단력으로 MB 재현

패턴전 경간·한 경간 재하와 음의 반력 확인

수렴관심 처짐·내력의 메시·솔버 수렴 확인

규정하중·유효강성·한계상태의 출처와 판본 명시

공식 자료와 더 읽을거리

NPTEL — The Force Method: 정정 기본계, 여력, 변위계수와 적합조건으로 원래 구조를 복원하는 절차를 설명합니다.

NPTEL — Slope-Deflection Method: 고정단모멘트, 절점회전과 지점침하를 포함한 일반 처짐각식을 제시합니다.

NPTEL — Moment-Distribution Method: 회전강성, 분배율, 불평형모멘트와 전달모멘트의 반복해법을 다룹니다.

NPTEL — Direct Stiffness Method for Beams: 보 요소 자유도, 강성행렬, 전체행렬 조립과 하중벡터 형성을 설명합니다.

MIT OpenCourseWare — General Element Stiffness Matrix: 가상일로부터 보 요소 강성행렬을 유도합니다.

OpenSees — Elastic Beam Column Element: 2D·3D 탄성 보–기둥 요소의 입력과 결과 조회 항목을 확인할 수 있습니다.

핵심은 하나입니다. 부정정 구조는 평형만으로 풀리지 않습니다. 여분 구속이 요구하는 변위를 적합조건으로 쓰고, 강성이 힘과 변위를 연결하도록 해야 합니다. 힘법의 한 줄 적합식과 강성법의 Ku=F가 같은 반력·모멘트에 도달한다면, 손계산과 FEA는 서로를 복제한 것이 아니라 서로의 모델 오류를 감시하는 독립 검증 경로가 됩니다.