주응력과 파손이론 완전 가이드: 응력변환·모어원부터 von Mises와 FEA 검증까지

축력·휨·비틀림 응력을 한 점에서 합성하고, 응력변환과 모어원으로 주응력을 구한 뒤 von Mises·Tresca·최대주응력 기준과 FEA 결과를 올바르게 연결합니다.

휨응력 σ=My/I와 비틀림 전단응력 τ=Tρ/J를 각각 정확히 계산해도 설계 판단은 아직 끝나지 않습니다. 실제 축, 브래킷, 프레임 접합부의 한 재료점에는 축력·휨·비틀림·압력 때문에 여러 응력성분이 동시에 작용합니다. 이때 σx와 τxy 중 큰 숫자 하나만 재료의 항복강도와 비교하면 다축 응력의 상호작용을 놓칩니다.

이번 글은 하중에서 한 점의 응력텐서를 만들고, 그 텐서를 회전해 주응력과 최대전단응력을 찾은 뒤, 재료의 파손모드에 맞는 von Mises·Tresca·최대주응력 기준으로 안전여유를 계산하는 전 과정을 연결합니다. 마지막에는 FEA의 S11, 주응력, Mises 색상이 왜 서로 다르며, 적분점·절점 평균·셸 상하면을 어떻게 구분해야 하는지 검증 절차로 정리합니다.

학습 결과: 이 글을 마치면 복합하중의 응력을 같은 점과 같은 좌표계에서 합성하고, 응력변환식과 모어원을 서로 검산하며, 연성금속과 취성재료에 맞는 파손기준을 선택하고, FEA 등가응력의 위치·평균화·메시수렴을 근거로 설계 안전계수를 판단할 수 있습니다.

단계핵심 질문얻게 되는 능력

1 · 응력상태여러 하중의 응력을 어디에서 더하는가?같은 재료점의 텐서 성분을 구성합니다.

2 · 응력변환면을 돌리면 응력은 어떻게 바뀌는가?변환식과 모어원의 2θ 관계를 이해합니다.

3 · 주응력전단응력이 0인 방향은 어디인가?σ1, σ2, σ3와 최대전단응력을 계산합니다.

4 · 파손기준어떤 스칼라값을 강도와 비교해야 하는가?Mises, Tresca, 최대주응력의 적용범위를 구분합니다.

5 · FEA 검증색상 최대값을 그대로 믿어도 되는가?성분·불변량·적분점·평균화·특이점을 분리합니다.

이 글은 앞선 휨응력 가이드, 전단응력 가이드, 비틀림 가이드에서 계산한 성분을 하나의 재료 판정으로 합치는 다음 단계입니다.

1단계 — 하중이 아니라 같은 점의 응력을 합성한다

선형탄성 범위에서는 하중효과를 중첩할 수 있습니다. 그러나 축력의 평균응력과 휨의 최대응력을 서로 다른 위치에서 가져와 더하면 물리적 의미가 없습니다. 먼저 위험 후보점을 정하고 그 같은 점에서 모든 응력성분을 계산해야 합니다.

직교좌표계의 3차원 Cauchy 응력텐서는 대칭이므로 독립 성분은 여섯 개입니다.

σ = [[σx, τxy, τxz], [τxy, σy, τyz], [τxz, τyz, σz]]

대칭성은 각운동량 평형에서 나옵니다. τxy와 τyx는 서로 다른 숫자가 아니라 같은 물리량의 상보전단입니다. 얇은 판의 자유표면이나 축의 외주처럼 두께방향 응력이 작으면 σz=τxz=τyz=0인 평면응력으로 단순화할 수 있습니다. 반대로 두꺼운 구속부, 접촉부, 노치 뿌리에서는 평면응력을 가정하면 안 됩니다.

복합하중 원형축의 위험점

지름 d=40 mm인 실축에 인장축력 P=30 kN, 한 방향 휨모멘트 M=0.5 kN·m, 토크 T=0.8 kN·m가 작용한다고 합시다. 원형 단면의 성질은

A=πd²/4=1,256.637 mm²I=πd⁴/64=125,663.706 mm⁴J=πd⁴/32=251,327.412 mm⁴

입니다. 휨 인장측 외주점에서

σa=P/A=23.873 MPaσb=Mc/I=79.577 MPaσx=σa+σb=103.451 MPaτxy=Tc/J=63.662 MPa

가 됩니다. 반대편 외주에서는 σx=23.873−79.577=−55.704 MPa이지만 비틀림 전단응력의 크기는 같습니다. 어느 쪽이 더 위험한지는 성분 하나가 아니라 뒤에서 계산할 등가응력으로 비교합니다.

2단계 — 응력은 면의 방향에 따라 달라진다

같은 재료점에서도 어떤 방향의 면을 자르느냐에 따라 수직응력과 전단응력이 달라집니다. 이것은 응력상태가 변한 것이 아니라 같은 텐서를 다른 좌표축으로 표현한 결과입니다. 평면응력 요소를 반시계방향으로 θ 회전했을 때 변환식은

σx′=(σx+σy)/2 + (σx−σy)/2 cos2θ + τxy sin2θσy′=(σx+σy)/2 − (σx−σy)/2 cos2θ − τxy sin2θτx′y′=−(σx−σy)/2 sin2θ + τxy cos2θ

입니다. 전단응력의 부호와 모어원의 세로축 방향은 교재와 소프트웨어의 규약에 따라 다를 수 있습니다. 공식 하나를 외우기보다, 현재 쓰는 규약에서 θ=0일 때 원래 성분이 복원되는지와 σx′+σy′=σx+σy가 유지되는지 검산하는 편이 안전합니다.

University of Illinois의 Stress Transformation 자료는 이 변환식에서 주응력, 최대전단응력, 모어원을 같은 원의 중심과 반지름으로 연결합니다.

3단계 — 주응력과 모어원은 같은 계산을 다른 방식으로 보여 준다

주응력면은 전단응력이 0인 면입니다. 평면응력에서 원의 중심과 반지름을

C=σavg=(σx+σy)/2R=√{[(σx−σy)/2]²+τxy²}

로 두면

σp1=C+Rσp2=C−Rτmax,in-plane=R

입니다. 방향은 단순한 atan보다 사분면을 보존하는 atan2로 계산해야 합니다.

θp=0.5 atan2(2τxy, σx−σy)

축 예제에서는 C=51.725 MPa, R=82.027 MPa이므로 두 평면 주응력은 σp1=133.752 MPa, σp2=−30.301 MPa이고 θp=25.453°입니다. 여기에 평면 밖 주응력 0을 포함해 크기순으로 다시 쓰면 σ1=133.752 MPa, σ2=0, σ3=−30.301 MPa입니다. 따라서 3차원 최대전단응력도 (σ1−σ3)/2=82.027 MPa입니다.

평면 최대전단과 3차원 최대전단을 구분한다

모어원 하나의 반지름 R은 평면 내 최대전단입니다. 3차원에서는 σ1, σ2, σ3를 크기순으로 다시 정렬한 뒤

τmax,3D = max(|σ1−σ2|, |σ2−σ3|, |σ3−σ1|)/2

를 사용합니다. 평면응력이라고 해서 σ3=0을 삭제하면 안 됩니다. 두 평면 주응력이 모두 인장 또는 모두 압축일 때 0이 바깥쪽 주응력이 되어 3차원 최대전단을 결정할 수 있습니다.

4단계 — 복합축 예제를 주응력과 항복지표까지 완성한다

앞의 인장측 외주 응력 σx=103.451 MPa, σy=0, τxy=63.662 MPa를 계산사슬로 정리하면 다음과 같습니다.

평가 위치σxσ1σminMisesTresca

휨 인장측 외주103.451 MPa133.752 MPa−30.301 MPa151.197 MPa164.053 MPa

휨 압축측 외주−55.704 MPa41.636 MPa−97.340 MPa123.537 MPa138.976 MPa

이 하중 조합에서는 인장측 외주가 두 기준 모두 지배합니다. 하지만 축력의 방향과 휨모멘트가 바뀌거나, 노치의 인장·압축 민감도가 다르면 지배점도 달라질 수 있습니다. 계산서에는 최소한 모든 극섬유 후보와 기하학적 불연속 후보를 비교해야 합니다.

5단계 — 연성 등방성 금속에는 von Mises와 Tresca를 사용한다

주응력은 좌표계에 무관하지만, 주응력 중 가장 큰 값 하나가 연성금속의 항복을 지배하지는 않습니다. 연성금속의 소성변형은 주로 형상변화와 관련되므로 편차응력에 기반한 기준을 사용합니다.

von Mises 등가응력

σvm=√{[(σ1−σ2)²+(σ2−σ3)²+(σ3−σ1)²]/2}

평면응력에서는

σvm=√(σx²−σxσy+σy²+3τxy²)

로 줄어듭니다. 단축 인장시험의 항복강도 Sy와 비교해 σvm≤Sy이면 이상적인 등방성 Mises 항복면 내부입니다. MIT의 Yield and Plastic Flow 자료는 Mises 응력을 편차응력과 왜곡에너지로 설명하고, 순수전단 항복값이 Sy/√3임을 유도합니다.

Tresca 최대전단응력 기준

σTresca=max(|σ1−σ2|, |σ2−σ3|, |σ3−σ1|)

이 등가표현을 Sy와 비교합니다. 순수전단에서는 τyield=Sy/2이므로 Mises의 Sy/√3≈0.577Sy보다 보수적입니다. Abaqus의 Tresca yield surface 문서도 세 주응력 차이의 최댓값으로 같은 기준을 정의합니다.

예제의 Sy=250 MPa라면

nMises=250/151.197=1.653nTresca=250/164.053=1.524

입니다. Tresca 결과가 8.5% 더 큰 등가응력을 주지만 모든 응력경로에서 항상 같은 비율로 보수적인 것은 아닙니다.

6단계 — Mises가 정수압에서 0이 되는 이유와 한계

세 주응력에 같은 값 p를 더해도 모든 주응력 차이는 그대로입니다. 따라서 Mises와 Tresca는 순수 정수압 성분에 반응하지 않습니다. σ1=σ2=σ3=−100 MPa인 정수압 압축에서는 σvm=0, σTresca=0입니다. 부피는 변하지만 형상왜곡이 없기 때문입니다.

Abaqus의 Stress invariants 정의도 압력응력과 편차응력, Mises 불변량을 분리합니다. Classical Metal Plasticity 문서는 일반 금속의 Mises 항복이 압력과 독립적이라는 가정이 고삼축 인장, 기공 성장, 균열팁 같은 상태에서는 부정확할 수 있다고 명시합니다.

따라서 다음 재료와 파손모드에 Mises 숫자 하나를 무조건 적용하면 안 됩니다.

재료·모드중요한 특징검토 방향

주철·세라믹·유리인장과 압축 강도가 다르고 소성변형이 작음최대주응력, Coulomb–Mohr류, 시험기반 허용값

콘크리트·토질·암반압력과 마찰에 민감Mohr–Coulomb, Drucker–Prager, 손상모델

복합재·압연판방향별 강도와 파손모드가 다름Hill, Tsai–Hill, Tsai–Wu, Hashin 등 재료별 기준

다공성 금속·고삼축 인장기공 핵생성·성장·합체삼축도와 porous plasticity/손상모델

피로·크리프·균열·좌굴시간·사이클·결함·안정성이 지배정적 Mises가 아닌 별도 수명·파괴·좌굴 평가

7단계 — 취성재료는 인장과 압축의 비대칭을 반영한다

취성재료의 가장 단순한 1차 검토는 최대주응력 이론입니다. 최대 인장주응력을 인장강도 Sut, 가장 큰 압축주응력의 절댓값을 압축강도 Suc와 각각 비교합니다.

σ1/Sut ≤ 1/n — 인장 지배|σ3|/Suc ≤ 1/n — 압축 지배

그러나 이 기준은 주응력 간 상호작용을 거의 반영하지 않습니다. 인장·압축 강도가 크게 다른 취성재료에서는 Coulomb–Mohr 또는 수정 Mohr 기준이 더 적절할 수 있고, 실제 허용기준은 재료시험과 산업규격을 따라야 합니다. MIT 2.080 Lecture 12도 연성 강·알루미늄의 Mises/Tresca 항복 데이터와 회주철의 압력·수직응력 의존 파손을 분리해 비교합니다.

“취성이면 최대주응력”도 자동규칙은 아닙니다. 노치 민감도, 크기효과, 표면결함, 잔류응력, 환경, Weibull 산포가 지배할 수 있습니다. 최대주응력은 파손모델 선택을 끝내는 답이 아니라 인장균열 가능성을 읽는 첫 좌표입니다.

8단계 — 안전계수는 모델의 적용범위 안에서만 의미가 있다

선형탄성·비례하중에서 등가응력이 하중에 비례하고 재료의 항복강도가 적절하다면 n=Sy/σeq를 사용할 수 있습니다. 하지만 다음 상황에서는 이 단순비가 구조 안전계수와 같지 않습니다.

국부 항복 후 하중 재분배가 가능한 연성 구조

좌굴이나 접촉상태 변화가 먼저 발생하는 구조

반복하중에서 평균응력·응력진폭·표면상태가 피로를 지배하는 구조

온도와 변형률속도에 따라 항복강도가 변하는 재료

용접부처럼 잔류응력과 상세등급을 별도 규정으로 다루는 구조

확률적 산포와 검사능력을 포함해야 하는 안전중요 부품

따라서 보고서에는 “Mises 안전계수 1.65”만 적지 말고, 사용한 강도값의 출처·온도·방향·하중조합·파손모드·적용 설계기준을 함께 남겨야 합니다.

9단계 — FEA의 S11, 주응력, Mises를 순서대로 읽는다

FEA에서 응력은 보통 요소 적분점에서 텐서 성분으로 계산됩니다. Mises와 주응력은 그 성분에서 파생된 불변량입니다. 화면의 매끄러운 절점 색상은 계산 원본이 아니라 적분점 결과를 외삽하고 인접 요소 사이에서 평균한 표현일 수 있습니다.

성분과 좌표계

S11은 항상 전역 X방향 응력이 아닙니다. 요소·재료 로컬방향이 정의되면 그 방향의 11성분입니다. 회전하는 큰변형 모델에서는 출력 기준도 확인해야 합니다. 최대주응력과 Mises는 좌표회전에 불변이지만, 재료가 이방성이면 방향별 성분과 재료축이 설계판정의 핵심입니다.

적분점, 외삽, 절점 평균

Abaqus의 Element Output 문서는 응력이 기본적으로 적분점에 출력되며, 절점값은 형상함수로 외삽·평균될 수 있다고 설명합니다. 고응력 구배에서 외삽값은 덜 정확하므로 충분한 메시가 필요합니다. Postprocessing 예제는 외삽 절점 Mises가 현재 항복응력을 넘어 보이더라도 적분점 값은 그렇지 않을 수 있는 사례를 보여 줍니다.

셸 상면과 하면

휨을 받는 셸은 두께 중앙보다 상면 또는 하면의 응력이 큽니다. Abaqus Shell Elements 문서에 따르면 기본 출력은 적분규칙에 따라 상·하면 또는 그에 가장 가까운 section point에서 제공됩니다. 현재 표시가 SPOS인지 SNEG인지, 복합재라면 어느 ply와 section point인지 기록해야 합니다.

특이점과 메시수렴

점하중, 완전 고정 모서리, 0 반경 재진입 코너, 날카로운 접촉모서리에서는 탄성응력이 메시를 세분할수록 계속 증가할 수 있습니다. 이 값에 Sy/σmax를 적용하면 안전계수는 메시크기에 의해 결정됩니다. Abaqus의 Adaptive Remeshing 문서도 이런 특이응력은 무한대로 발산해 메시 세분으로 수렴값을 얻을 수 없다고 경고합니다.

전체 반력과 단면력이 손계산 하중경로와 일치하는지 확인합니다.

위험점의 Sij 성분을 적분점에서 추출하고 직접 Mises·주응력을 재계산합니다.

로컬축과 셸 section point를 고정해 같은 물리 위치를 비교합니다.

평균 on/off 차이와 인접 요소의 불연속을 확인합니다.

메시별 공칭응력, 구조적 핫스폿, 국부 피크를 분리해 수렴표를 작성합니다.

특이점이면 규정의 구조적 응력, 유효노치, 파괴역학 등 목적에 맞는 평가량으로 바꿉니다.

10단계 — Python으로 응력변환과 파손지표를 재현한다

다음 코드는 외부 패키지 없이 복합축의 응력성분, 주응력 방향, Mises와 Tresca 안전계수를 계산합니다. N–mm–MPa 단위계입니다.

from math import atan2, degrees, pi, sqrt P = 30_000.0 # N M = 500_000.0 # N mm T = 800_000.0 # N mm d = 40.0 # mm Sy = 250.0 # MPa A = pi*d**2/4 I = pi*d**4/64 J = pi*d**4/32 sigma_x = P/A + M*(d/2)/I sigma_y = 0.0 tau_xy = T*(d/2)/J C = (sigma_x + sigma_y)/2 R = sqrt(((sigma_x - sigma_y)/2)**2 + tau_xy**2) p1 = C + R p2 = C - R sigma_1, sigma_2, sigma_3 = sorted((p1, p2, 0.0), reverse=True) theta_p = 0.5*degrees(atan2(2*tau_xy, sigma_x - sigma_y)) mises = sqrt( ((sigma_1-sigma_2)**2 + (sigma_2-sigma_3)**2 + (sigma_3-sigma_1)**2)/2 ) tresca = max( abs(sigma_1-sigma_2), abs(sigma_2-sigma_3), abs(sigma_3-sigma_1), ) assert abs(sigma_1 - 133.751937) < 1e-6 assert abs(mises - 151.197196) < 1e-6 print(f"sigma_x = {sigma_x:.3f} MPa") print(f"tau_xy = {tau_xy:.3f} MPa") print(f"principal = {sigma_1:.3f}, {sigma_2:.3f}, {sigma_3:.3f} MPa") print(f"theta_p = {theta_p:.3f} deg") print(f"Mises = {mises:.3f} MPa, n = {Sy/mises:.3f}") print(f"Tresca = {tresca:.3f} MPa, n = {Sy/tresca:.3f}")

예상 출력은 σx=103.451 MPa, τxy=63.662 MPa, 크기순 주응력 (133.752, 0, −30.301) MPa, θp=25.453°, Mises 안전계수 1.653, Tresca 안전계수 1.524입니다.

11단계 — 파손기준 선택과 제출 전 체크리스트

모든 응력성분을 같은 점, 같은 하중조합, 같은 좌표계에서 계산했는가?

인장·압축 극섬유와 노치·구멍·필렛 후보점을 모두 비교했는가?

전단응력 부호규약과 모어원 세로축 방향을 명시했는가?

atan 대신 atan2로 주응력 방향의 사분면을 보존했는가?

평면응력에서도 세 번째 주응력 σ3=0을 3D 판정에 포함했는가?

연성 등방성 금속인지, 취성·이방성·압력의존 재료인지 확인했는가?

항복, 파단, 피로, 크리프, 균열, 좌굴 중 실제 한계상태를 구분했는가?

강도값의 온도·방향·변형률속도·통계적 기준이 모델과 일치하는가?

FEA 응력의 로컬축, 적분점, 절점평균, 셸 상하면을 기록했는가?

특이 피크와 수렴하는 구조적 응력을 분리해 안전계수를 계산했는가?

참고자료와 적용범위

응력변환과 모어원은 University of Illinois Stress Transformation 및 MIT OpenCourseWare 2.080 Stress/Strain Transformations and Mohr’s Circle, 항복기준은 MIT 3.11 Yield and Plastic Flow와 MIT 2.080 Lecture 12, FEA 출력은 Dassault Systèmes Abaqus의 Conventions, Element Output, Shell Elements를 대조했습니다. 자료 확인일은 2026-08-17입니다.

수록 계산은 균질 선형탄성, 작은 변형, 정적 비례하중과 명시된 평면응력 가정을 전제로 한 교육·1차 검증용입니다. 실제 제품 설계는 최신 재료시험값과 산업 설계기준을 사용하고, 소성·잔류응력·동적하중·피로·환경·제조공차·검사능력과 요구 신뢰도를 별도로 반영해야 합니다.