전단력도·휨모멘트도 완전 가이드: 자유물체도에서 최대 모멘트까지

6 m 보의 전단력도와 휨모멘트도를 구간별로 유도하고, 점프·면적·최대값을 검산하며, Python 도표와 FEA 단면력까지 하나의 계산사슬로 연결합니다.

전단력도와 휨모멘트도는 보가 휘어진 모양을 그린 그림이 아닙니다. 보의 임의 위치 x를 가상으로 자를 때, 남겨 둔 한쪽 조각이 평형을 유지하려면 절단면이 전달해야 하는 횡력과 모멘트를 위치별로 기록한 지도입니다. 이 차이를 이해하면 도표의 모양을 외울 필요가 없습니다. 외력과 반력에서 출발해 각 구간의 값을 유도하고, 면적과 경계조건으로 검산하며, 같은 논리를 코드와 유한요소해석 결과에 적용할 수 있습니다.

학습 결과: 앞선 자유물체도 글에서 구한 반력을 그대로 사용해 6 m 보의 전단력·휨모멘트 구간함수를 만들고, 실제 최대 모멘트의 위치와 값을 계산하며, Python으로 도표를 생성하고, FEA 단면력과 손계산을 같은 좌표계에서 대조할 수 있게 됩니다.

단계핵심 질문얻게 되는 능력

1 · 처음 배우기V와 M은 물리적으로 무엇인가?변형형상과 혼동하지 않고 값·부호·단위를 읽습니다.

2 · 기초 원리하중이 도표를 어떻게 바꾸는가?q–V–M의 미분관계와 면적법칙을 사용합니다.

3 · 직접 계산정확한 구간함수는 어떻게 만드는가?사건점 사이를 이동하며 점프와 기울기를 적용합니다.

4 · 검증그럴듯한 오답을 어떻게 잡는가?닫힘, 면적, 연속성, 극값, 실행 가능한 단언문을 검사합니다.

5 · 전문가 판단실제 해석 결과와 어떻게 연결하는가?하중포락선, 국부축, 보 단면력, FEA 절단합력을 해석합니다.

이 글은 자유물체도(FBD) 완전 가이드: 지점반력부터 분포하중까지에서 계산한 보와 반력을 그대로 이어갑니다. 반력, 내력, 응력, 처짐을 서로 다른 예제로 흩뜨리지 않고 하나의 추적 가능한 계산사슬로 연결하기 위해서입니다.

1단계 — 도표의 세로값이 실제로 뜻하는 것

보의 x 위치를 잘라 왼쪽 조각만 남긴다고 생각해 봅시다. 제거한 오른쪽 조각은 원래 절단면에 분포응력을 가하고 있었습니다. 보이론은 이 복잡한 분포를 단면합력으로 축약합니다. 평면문제에서는 보통 축력 N, 전단력 V, 휨모멘트 M을 사용합니다. 따라서 V(x)는 그 절단면에서 필요한 횡방향 합력이고, M(x)는 필요한 모멘트 합력입니다.

물리량뜻대표 단위혼동하면 안 되는 것

q(x)보 길이당 외부 횡하중kN/m한 점에 작용하는 힘

V(x)절단면 내부 횡방향 합력kN수직변위

M(x)절단면 내부 휨모멘트 합력kN·m회전각이나 휘어진 형상

도표의 가로축은 시간이 아니라 변형 전 보의 길이방향 좌표입니다. 세로축의 단위는 힘 또는 모멘트입니다. 모멘트도가 삼각형이라고 해서 보도 삼각형으로 변형되는 것은 아닙니다. 변형은 곡률, 휨강성, 경계조건을 함께 풀어야 얻습니다. 그 다음 연결고리는 단순지지보 처짐 계산: 처음 배우는 사람부터 실무 전문가까지에서 확인할 수 있습니다.

부호규약은 계산 전에 한 번만 선언한다

교재와 해석기는 절단면의 어느 쪽을 보는지, 양의 내력을 어느 방향으로 그리는지가 서로 다를 수 있습니다. 규약을 떼어 낸 공식만 복사하면 정답의 전체 부호가 뒤집힙니다. 이 글에서는 아래쪽 분포하중강도 q를 양수로 둡니다. 왼쪽 조각의 절단면에서는 아래쪽 V가 양수이고, 처짐형(sagging) M이 양수이며 왼쪽 절단면에서 반시계방향입니다. 이 정의를 사용하면 다음과 같습니다.

dV/dx = −q, dM/dx = V

MIT 휨 정역학 강의자료는 내부 절단면 화살표를 다르게 정의하기 때문에 미분식 하나의 부호가 이 글과 다르게 표시됩니다. 물리가 충돌하는 것이 아닙니다. 절단면 화살표, 식, 도표의 부호, 응력방향 해석을 한 규약으로 일관되게 사용하면 어느 체계도 유효합니다.

2단계 — q, V, M을 하나의 연결된 시스템으로 읽기

미분관계를 두 위치 a, b 사이에서 적분하면 다음의 면적법칙이 됩니다.

V(b) − V(a) = −∫[a,b] q(x) dxM(b) − M(a) = ∫[a,b] V(x) dx

이는 그림을 예쁘게 그리기 위한 요령이 아니라 평형에서 나온 정량법칙입니다. 하중도 아래의 부호 있는 면적은 전단력 변화량의 음수이고, 전단력도 아래의 부호 있는 면적은 모멘트 변화량입니다. 그래서 분포하중이 없는 구간에서는 V가 일정하고 M은 직선입니다. 일정한 분포하중 구간에서는 V가 직선이고 M은 이차곡선입니다. 선형으로 변하는 분포하중이라면 V는 이차곡선, M은 삼차곡선이 됩니다.

불연속은 집중작용의 흔적이다

x = a에서의 사건전단력 V모멘트 M이유

아래쪽 집중력 PP만큼 아래로 점프연속유한한 힘이 길이 0에 작용하지만 a에 접근한 절단면의 모멘트팔은 0입니다.

위쪽 집중반력 RR만큼 위로 점프연속반력도 집중력입니다.

집중모멘트 C연속부호 있는 C만큼 점프순수 모멘트는 합력 없이 모멘트만 가집니다.

유한한 q의 시작·끝연속이며 기울기 변경연속이며 곡률 변경별도 집중력이 명시되지 않았다면 경계에 점하중은 없습니다.

이 표만으로도 자주 발생하는 두 오류를 걸러낼 수 있습니다. 집중력이 작용한다고 모멘트도가 점프하지 않습니다. 또한 분포하중을 하나의 등가집중력으로 바꾸는 것은 전체 보의 반력을 구할 때만 유효합니다. 하중이 실제로 작용하는 구간의 V(x)와 M(x)을 구할 때는 원래의 q(x)를 반드시 복원해야 합니다.

3단계 — 6 m 보 완전 예제

보의 A점 x=0은 핀, B점 x=6 m은 롤러입니다. x=2 m에 아래쪽 12 kN 집중력, x=3부터 6 m까지 아래쪽 4 kN/m 등분포하중, x=4 m에 +x축보다 아래로 30° 기울어진 10 kN 힘이 작용합니다. 앞선 반력계산 결과는 다음과 같습니다.

Ax = −8.660 kN, Ay = +12.6667 kN, By = +16.3333 kN

경사하중의 수평성분은 +8.660 kN, 수직성분은 −5.000 kN입니다. 수평성분과 Ax는 축력도 N(x)를 만듭니다. 이 이상화에서는 두 힘의 작용선이 보의 중심축과 일치하므로 횡방향 V와 M에는 들어가지 않습니다. 수평력이 중심축에서 떨어져 작용한다면 편심만큼 모멘트가 추가되므로 이 단순화는 성립하지 않습니다.

1단계: 사건점을 먼저 적는다

완성곡선의 모양부터 추측하지 마십시오. 하중법칙이 바뀌는 위치를 x=0, 2, 3, 4, 6 m 순서로 적습니다. 각 사건점 사이에 하나의 구간식을 쓰고, 집중력 위치에서는 전단력의 좌극한과 우극한을 구분합니다. 이 방식은 하중이 수십 개로 늘어나도 확장됩니다. 도표의 모든 변화가 어느 사건에서 발생했는지 추적할 수 있기 때문입니다.

2단계: 왼쪽에서 오른쪽으로 전단력을 갱신한다

구간 또는 사건연산V (kN)

x=0+Ay만큼 위로 점프+12.6667

0<x<2분포하중 없음12.6667

x=212만큼 아래로 점프오른쪽에서 0.6667

2<x<3분포하중 없음0.6667

3<x<4기울기 −q=−40.6667−4(x−3)

x=4수직성분 5만큼 아래로 점프−3.3333 → −8.3333

4<x<6기울기 −4 지속−8.3333−4(x−4)

x=6V(6−)=−16.3333에서 By만큼 점프0

첫 번째 등분포하중 구간에서 0.6667−4(x−3)=0을 풀면 전단력 영점은 x=3.1667 m입니다. dM/dx=V이므로 이 위치는 모멘트 극값의 후보가 됩니다.

3단계: 전단력을 적분해 모멘트를 만든다

이 이상화에서 핀과 롤러는 끝모멘트를 전달하지 않으므로 M(0)=M(6)=0입니다. 왼쪽에서 출발해 집중력 위치에서도 모멘트의 연속성을 유지하면 다음 구간식을 얻습니다.

구간M(x), kN·m경계값

0≤x≤212.6667xM(2)=25.3333

2≤x≤325.3333+0.6667(x−2)M(3)=26.0000

3≤x≤426+0.6667u−2u², u=x−3M(4)=24.6667

4≤x≤624.6667−8.3333v−2v², v=x−4M(6)=0

4단계: 진짜 최대 모멘트를 찾는다

M이 미분 가능한 구간에서 국부극값은 V=dM/dx=0인 곳에 생길 수 있습니다. 이 예제에서는 x*=3.1667 m에서 V가 양수에서 음수로 바뀝니다. 따라서 M은 증가하다 감소합니다. 값을 대입하면 다음과 같습니다.

Mmax = 26 + 0.6667(1/6) − 2(1/6)² = 26.0556 kN·m

V=0은 후보조건이지 전역최댓값을 보장하는 주문이 아닙니다. 끝점, 내부 전단력 영점, 모든 불연속의 양쪽 값을 비교해야 합니다. 집중모멘트가 M을 점프시키는 문제에서는 V가 0인 곳이 없어도 점프 직전이나 직후가 최대가 될 수 있습니다. 집중력에서는 V의 좌우값을 구분하되 M 자체는 연속임을 유지합니다.

4단계 — 그림만 보아서는 못 잡는 오류를 검증하기

면적검산과 닫힘검사

전단력도의 부호 있는 면적은 각 구간의 모멘트 변화량과 같아야 합니다. 0~2 m 면적은 12.6667×2=25.3333 kN·m, 2~3 m는 0.6667, 3~4 m 사다리꼴 면적은 (0.6667−3.3333)/2=−1.3333, 4~6 m는 −24.6667입니다. 합은 0이며 M(6)−M(0)=0과 정확히 일치합니다.

전단력도도 닫혀야 합니다. 0에서 시작해 위쪽 반력과 아래쪽 하중을 모두 반영한 뒤 B의 바로 오른쪽에서 다시 0이 되어야 합니다. 닫히지 않는다면 그림의 미관 문제가 아닙니다. 누락한 힘, 잘못된 부호, 분포하중 길이 오류, 너무 일찍 반올림한 반력 가운데 하나가 남았다는 증거입니다.

실행 가능한 Python 계산과 도표 생성

아래 코드는 계산과 표현을 분리합니다. 구간함수가 계산의 기준이고, 전단력 배열의 중복 x좌표는 집중력 위치의 수직점프를 그림에 보존합니다. 단언문은 매끄러운 곡선만으로 입증할 수 없는 물리조건을 검사합니다.

from math import isclose import matplotlib.pyplot as plt L = 6.0 Ay = 38.0 / 3.0 By = 49.0 / 3.0 def shear_right(x): # x의 바로 오른쪽 전단력, 0 <= x <= L에서 유효 if not 0.0 <= x <= L: raise ValueError("x가 보 구간 안에 있어야 합니다") value = Ay if x >= 2.0: value -= 12.0 if x >= 3.0: value -= 4.0 * (min(x, 6.0) - 3.0) if x >= 4.0: value -= 5.0 if x >= 6.0: value += By return value def moment(x): if not 0.0 <= x <= L: raise ValueError("x가 보 구간 안에 있어야 합니다") value = Ay * x if x > 2.0: value -= 12.0 * (x - 2.0) if x > 3.0: value -= 2.0 * (x - 3.0) ** 2 if x > 4.0: value -= 5.0 * (x - 4.0) return value x_star = 3.0 + (Ay - 12.0) / 4.0 m_max = moment(x_star) assert isclose(x_star, 19.0 / 6.0, abs_tol=1e-12) assert isclose(m_max, 469.0 / 18.0, abs_tol=1e-12) assert isclose(moment(0.0), 0.0, abs_tol=1e-12) assert isclose(moment(6.0), 0.0, abs_tol=1e-12) assert isclose(shear_right(6.0), 0.0, abs_tol=1e-12) # V의 네 연속구간에서 구한 정확한 부호 있는 면적 areas = [ Ay * 2.0, (Ay - 12.0) * 1.0, ((Ay - 12.0) + (Ay - 16.0)) * 1.0 / 2.0, ((Ay - 21.0) + (-By)) * 2.0 / 2.0, ] assert isclose(sum(areas), 0.0, abs_tol=1e-12) # 같은 x를 두 번 넣어 집중력 위치의 수직점프를 보존합니다. vx = [0, 0, 2, 2, 3, 4, 4, 6, 6] vy = [0, Ay, Ay, Ay-12, Ay-12, Ay-16, Ay-21, -By, 0] mx = [i * L / 600 for i in range(601)] my = [moment(x) for x in mx] fig, (ax_v, ax_m) = plt.subplots(2, 1, sharex=True, figsize=(10, 7)) ax_v.plot(vx, vy, color="#2563eb", linewidth=2.5) ax_v.axhline(0, color="#0f172a", linewidth=1) ax_v.set_ylabel("V (kN)") ax_v.grid(alpha=0.25) ax_m.plot(mx, my, color="#d97706", linewidth=2.5) ax_m.scatter([x_star], [m_max], color="#d97706", zorder=3) ax_m.axhline(0, color="#0f172a", linewidth=1) ax_m.set(xlabel="x (m)", ylabel="M (kN·m)") ax_m.grid(alpha=0.25) fig.tight_layout() fig.savefig("shear-moment-diagrams.png", dpi=180)

Matplotlib이 없다면 한 번만 pip install matplotlib을 실행하면 됩니다. 실무 계산패키지에서는 모든 사건점과 집중력의 양쪽 값을 테스트하십시오. 특정 정답 숫자만 비교하지 말고 불변조건도 검사해야 합니다. V도의 닫힘, 집중력 전후 M의 연속성, 하중구간의 dV/dx=−q, 부호 있는 면적관계가 핵심입니다.

대표적인 실패형태

실패그럴듯해 보이는 이유드러내는 방법

V나 M을 보의 변형형상처럼 그린다모두 보 아래에 그리는 그림이다세로축 단위를 적습니다. kN과 kN·m는 길이가 아닙니다.

등분포하중을 모든 구간에서 등가집중력으로 바꾼다반력은 맞게 나온다x=3..6에서 dV/dx=−4를 요구합니다.

집중력에서 M을 점프시킨다갑작스러운 사건이기 때문이다a−ε, a+ε 절단을 비교하면 모멘트팔이 0으로 수렴해 M은 연속입니다.

최대모멘트가 중앙이라고 가정한다대칭 교과서 예제가 익숙하다모든 V 영점과 경계를 비교합니다.

왼쪽 면과 오른쪽 면 부호를 섞는다전체곡선 모양은 익숙하게 남을 수 있다구간식 옆에 절단면 화살표를 그려 미분부호를 검사합니다.

전단력 좌우값을 사선으로 연결한다그래프 도구가 자동보간한다사건점 x를 중복해 수직점프를 그립니다.

요소경계 값을 평균한다등고선이 매끄러워 보인다평균하지 않은 단면력과 국부축을 확인합니다.

적분 전에 반력을 반올림한다보고숫자가 깔끔하다최종 표시에만 반올림합니다.

5단계 — 전문가의 해석과 FEA 결과 대조

단면합력은 국부좌표계의 벡터다

평면 교재문제는 전단력 하나와 휨모멘트 하나만 보여 줍니다. 공간 보는 축력 N, 두 전단력 V2, V3, 비틀림 T, 두 휨모멘트 M2, M3를 출력할 수 있습니다. 요소방향과 부호규약을 모르면 이 숫자는 의미가 없습니다. Abaqus 좌표·부호규약 문서도 국부방향과 요소방향을 명시합니다. 요소 연결순서나 국부축을 뒤집으면 물리상태가 같아도 어떤 성분의 보고부호는 뒤집힐 수 있습니다.

따라서 손계산의 전역 My를 해석기에서 처음 눈에 띄는 화려한 모멘트 등고선과 바로 비교하면 안 됩니다. 보 접선, 국부 2·3방향, 양의 절단면, 출력위치, 전역-국부 변환을 먼저 기록하고 동일한 물리합력을 동일한 좌표계에서 비교해야 합니다.

보 단면출력과 가상절단 합력은 관련되지만 서로 다른 질문이다

Abaqus 요소 단면변수 문서는 보·셸 공식의 단면력과 단면모멘트 출력을 정의합니다. 이 값은 보통 요소 출력점 또는 적분점에서 요소규약에 따라 표현됩니다. 집중력이 작용하는 절점에서는 인접 요소 끝단값이 그 힘만큼 실제로 달라질 수 있습니다. 이를 평균하면 손계산 전단력도가 예측한 평형점프를 지워 버립니다.

복잡한 셸·솔리드 조립체에는 보의 SF/SM 성분이 없을 수 있습니다. Abaqus 절단면 출력 문서는 선택한 절단면의 전체 힘과 전체 모멘트를 제공합니다. 손계산에서 절단면의 왼쪽 또는 오른쪽을 남길 때처럼, 가상절단도 어느 쪽을 보존하는지에 따라 크기는 같고 방향은 반대인 합력을 회수해야 합니다. 보고모멘트는 기준 원점이나 앵커에도 의존하므로 같은 점에 대한 모멘트끼리 비교해야 합니다.

단계적으로 대조하라

전역평형: 등고선을 보기 전에 모든 적용하중과 해석기 반력을 합산합니다.

사건점 값: 하중, 지점, 릴리스, 단면변화의 바로 왼쪽과 오른쪽을 손계산과 비교합니다.

면적관계: 한 구간의 모멘트 변화가 전단력 적분값과 일치하는지 확인합니다.

좌표변환: 해석기 출력을 손계산에서 선언한 프레임으로 변환합니다.

메시검토: 고정된 물리 절단면의 합력을 메시 세분화별로 비교하고 특이점의 한 점 응력을 좇지 않습니다.

모델형태: 하중입력, 오프셋, 강체결합, 릴리스, 접촉, 지점강성이 실제 하중경로를 나타내는지 검토합니다.

수학적 점하중이나 날카로운 형상불연속에서는 국부응력이 특이하거나 메시 의존적일 수 있습니다. 그러나 특이점에서 떨어진 단면합력은 수렴하면서 평형을 만족할 수 있습니다. 이 두 질문을 구분해야 합니다. 메시를 세분화할수록 한 점의 응력등고선이 계속 커진다고 해서 전역 전단력·모멘트 평형까지 자동으로 틀린 것은 아닙니다. 반대로 전역평형이 정확히 닫힌다고 국부응력이나 접합부 거동까지 타당한 것도 아닙니다.

NASA 모델·시뮬레이션 핸드북은 선택한 방정식을 올바르게 푸는 검증과, 선택한 모델이 현실을 충분히 대표함을 입증하는 타당성 확인을 구분합니다. V·M 도표를 닫고 FEA 단면합력과 맞추는 일은 검증증거입니다. 핀, 롤러, 하중분산, 접합강성, 보 이상화가 실제 구조물을 대표함을 입증하는 일은 타당성 확인입니다.

한 개의 정적 하중경우를 넘어서

실제 설계는 한 장의 도표로 끝나지 않습니다. 하중조합, 이동하중, 시공단계, 온도, 지점침하, 동적응답은 여러 개의 V(x), M(x)을 만듭니다. 포락선은 각 위치의 최댓값과 최솟값을 저장하지만, 포락선 곡선 전체가 하나의 평형상태인 것은 아닙니다. 이웃한 두 값이 서로 다른 하중경우에서 나올 수 있기 때문입니다. 접합부나 철근판단이 실제로 동시에 발생하는 작용세트로 되돌아갈 수 있도록 각 포락점에 지배 하중경우 ID를 보존하십시오.

자동화할 때는 하중을 그리기 명령이 아니라 형식이 있는 사건으로 저장하십시오. 집중력, 분포하중함수와 작용구간, 집중모멘트, 지점반력, 좌표계를 데이터로 정의합니다. 사건경계와 전단력 영점에서 후보위치를 만들고, 검증된 값을 그래프가 소비하게 합니다. 계산과 표현을 분리하면 표시 라이브러리가 계산엔진 역할을 하는 일을 막고 시각모양과 독립된 회귀시험을 만들 수 있습니다.

실무 검토표

관문질문남길 증거

부호규약q, 절단면, V, 처짐형 M을 정의했는가?구간식 옆의 절단면 그림

사건모든 힘, 모멘트, 지점, q 경계를 적었는가?좌표순 사건점표

점프V 점프는 집중력, M 점프는 집중모멘트와 같은가?좌극한·우극한

기울기사건 사이에서 dV/dx=−q, dM/dx=V인가?구간함수

면적전단력 면적이 모멘트 변화량을 재현하는가?부호 있는 구간적분

경계지점과 자유단의 경계조건을 만족하는가?x=0, x=L 값

극값V 영점, 끝점, 불연속 양쪽을 모두 비교했는가?후보값표

FEA절단면, 국부축, 출력위치, 모멘트 기준점이 같은가?좌표변환과 가상절단 기록

처음 배우는 사람이라면 완성곡선을 보지 않고 그림 3을 빈 종이에 재현해 보십시오. 사건점을 적고, V를 갱신하고, 전단력 면적을 M에 누적하면 됩니다. 실무해석을 검토한다면 똑같은 논리를 기계검사 가능한 증거로 요구하십시오. 평균하지 않은 사건점 값, 좌표변환, 평형잔차, 하중경우 ID, 모델형태의 타당성 설명이 필요합니다.

1차 자료

MIT OpenCourseWare — Statics of Bending: Shear and Bending Moment Diagrams

MIT OpenCourseWare — Euler–Bernoulli Beam Theory 강의

Abaqus 2024 Documentation — Element Section Variables

Abaqus 2024 Documentation — Section Output from Abaqus/Standard

Abaqus 2024 Documentation — Conventions

NASA-HDBK-7009A — Models and Simulations

공학적 주의: 이 글은 교육용 정역학 예제이며 설계승인 자료가 아닙니다. 실제 내력은 하중조합, 3차원 형상, 부재와 접합부 강성, 릴리스, 시공순서, 적용 설계기준에 따라 달라집니다.