구조 진동과 공진 완전 가이드: 단자유도계부터 감쇠·모달 FEA 검증까지

정적해석에서 충분히 튼튼한 프레임도 모터를 가동하면 크게 흔들릴 수 있습니다. 반대로 고유진동수가 운전주파수와 가깝다는 사실만으로 실제 변위나 응력이 크다고 단정할 수도 없습니다. 구조 진동의 크기는 어떤 주파수의 힘이 들어오는지, 그 힘이 어떤 경로로 전달되는지, 질량·강성·감쇠가 어떤 동특성을 만드는지가 함께 결정합니다.

이 글은 공진을 “두 주파수가 같으면 위험하다”는 문장으로 축약하지 않습니다. 한 자유도계의 운동방정식을 물리량별로 읽고, 자유감쇠파형에서 감쇠비를 구하며, 회전체 불평형이 만드는 주파수응답을 실제 숫자로 계산합니다. 이어서 다자유도 고유치문제, 모드형상과 유효질량, 모달 FEA의 경계조건·메시·전응력, 해머시험과 MAC 상관까지 하나의 검증 절차로 연결합니다.

처짐과 강성의 기초가 필요하면 보의 변형과 에너지법 가이드를 먼저 읽어도 좋습니다. 압축력이 접선강성을 바꾸는 구조라면 기둥 좌굴과 비선형 검증 가이드도 함께 적용해야 합니다.

학습 결과: 이 글을 마치면 가진주파수와 고유진동수를 구분하고, m·ẍ+c·ẋ+k·x=F(t)에서 각 항의 역할을 설명하며, 로그감쇠율과 공진 증폭을 계산하고, RPM–order–mode 교차를 판독하고, 모드형상의 표시 배율을 실제 변위로 오해하지 않으며, 모달 FEA와 시험을 닫힌 검증 절차로 계획할 수 있습니다.

학습 결과: 이 글을 마치면 가진주파수와 고유진동수를 구분하고, m·ẍ+c·ẋ+k·x=F(t)에서 각 항의 역할을 설명하며, 로그감쇠율과 공진 증폭을 계산하고, RPM–order–mode 교차를 판독하고, 모드형상의 표시 배율을 실제 변위로 오해하지 않으며, 모달 FEA와 시험을 닫힌 검증 절차로 계획할 수 있습니다.

1단계 — 진동은 시간에 따라 달라지는 운동이다

진동은 평형 위치 주변에서 변위, 속도, 가속도가 시간에 따라 변하는 운동입니다. 같은 진동이라도 무엇을 관찰하느냐에 따라 의미가 다릅니다. 정밀장비의 성능에는 변위가 직접적일 수 있고, 회전체 상태진단에는 속도나 가속도의 주파수 성분이 유용하며, 체결부와 용접부의 내구에는 동적 응력범위와 반복횟수가 중요합니다. 따라서 “진동이 몇 mm인가?”보다 먼저 측정량, 위치, 방향, 주파수 대역, 운전상태를 정의해야 합니다.

진동을 만드는 여진원에는 회전체 불평형, 기어 맞물림, 블레이드 통과, 왕복관성력, 충격, 유체 맥동, 지반 운동이 있습니다. 여진은 베어링·마운트·배관·볼트·기초 같은 전달경로를 지나 구조로 들어옵니다. 구조의 질량 M, 강성 K, 감쇠 C는 주파수별 증폭과 위상을 정하고, 그 결과가 변위·가속도·응력·소음·전달력이라는 응답으로 나타납니다. 마지막으로 허용진동, 피로수명, 정렬, 소음, 기능 기준과 비교해야 설계판정이 됩니다.

질문확인할 데이터놓치기 쉬운 점

무엇이 흔드는가?RPM, order, 기어잇수, 블레이드 수, 충격 주기, 힘 또는 기초운동정격속도 하나만 보고 시동·정지 통과영역을 빼먹음

어디로 전달되는가?베어링, 마운트, 접합부, 배관, 기초의 방향별 강성고정부를 완전고정으로 두어 경로를 과도하게 단단하게 만듦

무엇이 공진하는가?전체 구조와 국부 부품의 고유진동수·모드형상·감쇠고유진동수만 맞추고 모드 방향과 가진 위치를 확인하지 않음

무엇을 판정하는가?변위, 속도, 가속도, 응력, 전달력, 소음의 위치·방향·단위고유치해석 결과만으로 응답 크기나 피로 안전을 선언함

2단계 — 한 자유도 운동방정식에서 질량·감쇠·강성을 분리한다

가장 작은 진동모델은 질량 m, 점성감쇠 c, 스프링 강성 k, 변위 x(t)를 가진 단자유도계입니다. 외력이 F(t)라면 평형식은 m·ẍ+c·ẋ+k·x=F(t)입니다. 이 식은 단순한 암기식이 아니라 세 가지 물리작용의 장부입니다.

m·ẍ는 가속도 변화에 저항하는 관성력입니다.

c·ẋ는 운동에너지를 열이나 미세 마찰로 소산하는 감쇠력입니다.

k·x는 평형 위치로 되돌리는 복원력입니다.

F(t)는 시스템 밖에서 주어진 크기와 주파수의 입력입니다.

단자유도 근사가 유효하려면 관심 대역에서 하나의 모드가 응답을 지배하고, 비선형 접촉·간극·마찰·큰 변형이 작아야 합니다. 등가질량과 등가강성은 실제 부품 전체의 질량과 정적강성을 무조건 그대로 넣는 값이 아닙니다. 선택한 응답 좌표와 모드형상에 따라 달라집니다. 이 가정을 명시하지 않고 손계산과 FEA의 숫자만 비교하면 서로 다른 시스템을 비교하게 됩니다.

3단계 — 자유진동으로 고유진동수와 감쇠를 읽는다

외력을 제거한 m·ẍ+c·ẋ+k·x=0의 응답이 자유진동입니다. 감쇠가 없다면 원형고유진동수는 ωn=√(k/m), 주파수는 fn=ωn/(2π)입니다. 질량을 늘리면 고유진동수는 내려가고, 강성을 늘리면 올라갑니다. 중력방향 정적처짐 δ=mg/k를 아는 단자유도계라면 같은 관계를 fn=(1/2π)√(g/δ)로 검산할 수 있습니다. 이는 단위와 모델 강성의 오류를 빠르게 찾는 좋은 방법입니다.

임계감쇠계수는 cc=2mωn, 감쇠비는 ζ=c/cc입니다. 0<ζ<1인 부족감쇠계의 진폭은 시간에 따라 지수적으로 줄고, 감쇠고유진동수는 ωd=ωn√(1−ζ²)가 됩니다. 가벼운 금속 구조처럼 감쇠가 작으면 ωd와 ωn의 차이는 작지만, 공진점의 응답크기는 감쇠비에 매우 민감합니다.

실험 자유감쇠파형에서 n주기 떨어진 두 같은 방향 피크를 x0, xn으로 읽으면 로그감쇠율은 δlog=(1/n)ln(x0/xn), 감쇠비는 ζ=δlog/√((2π)²+δlog²)입니다. 예를 들어 1.20 mm였던 피크가 네 주기 뒤 0.60 mm라면 δlog=ln(2)/4=0.1733, ζ=0.0276, 즉 약 2.76%입니다.

4단계 — 강제진동에서 공진 증폭과 위상을 계산한다

외력이 F(t)=F0 cos(ωt)인 선형 단자유도계는 과도응답이 사라진 뒤 입력과 같은 주파수로 정상상태 진동합니다. 주파수비 r=ω/ωn=f/fn를 쓰면 정적변위 F0/k에 대한 변위 증폭계수는 H=1/√((1−r²)²+(2ζr)²)입니다. 응답 진폭은 X=(F0/k)H, 위상지연은 φ=atan2(2ζr,1−r²)입니다.

r≪1에서는 구조가 외력을 거의 정적으로 따라가고 위상차가 작습니다. r≈1에서는 관성력과 복원력이 상쇄되어 감쇠가 응답을 제한합니다. r≫1에서는 관성이 지배하고 변위는 힘과 거의 반대 위상이 됩니다. 정확히 r=1일 때 힘 가진의 증폭계수는 H=1/(2ζ)이므로 감쇠비 1%, 3%, 5%, 10%에서 각각 50, 16.67, 10, 5입니다. 다만 감쇠계의 변위응답 최대점은 ζ<1/√2일 때 rpeak=√(1−2ζ²)로 1보다 조금 낮습니다. 감쇠비 3%에서는 rpeak=0.9991이므로 그림에서는 실무 해상도에 맞춰 1로 표시했습니다.

중요한 구분: 위 식은 질량에 직접 작용하는 힘 가진의 변위응답입니다. 바닥이 움직이는 기초 가진에서는 절대변위, 상대변위, 전달력의 전달률 분자가 서로 다릅니다. 같은 공진곡선이라는 이유로 식을 바꾸어 쓰면 방진마운트 선정이 틀어질 수 있습니다.

5단계 — 회전체 프레임의 공진 위험을 실제 숫자로 추적한다

모터와 프레임의 지배모드를 등가 단자유도계로 보고 m=220 kg, k=7.0 MN/m, ζ=3%라 하겠습니다. 회전체 불평형량은 U=me·e=2.5 kg·mm=0.0025 kg·m입니다. 고유진동수는 ωn=√(7.0×10⁶/220)=178.377 rad/s, fn=28.390 Hz, 등가 임계속도는 60fn=1703 rpm입니다. 중력 정적처짐 mg/k=0.308 mm를 (1/2π)√(g/δ)에 넣어도 같은 주파수가 나옵니다. 감쇠계수는 c=2ζmωn=2355 N·s/m입니다.

불평형력 진폭은 속도와 함께 일정하지 않고 F0=Uω²로 증가합니다. 1500 rpm은 25 Hz이므로 r=0.881, F0=61.69 N, H=4.335, X=38.20 μm입니다. 1800 rpm은 30 Hz로 속도는 20%만 증가하지만 F0=88.83 N, r=1.057, H=7.531, X=95.56 μm가 됩니다. 응답은 약 2.50배입니다. 힘 자체가 속도의 제곱으로 커지는 동시에 운전점이 공진에 가까워졌기 때문입니다.

속도주파수r불평형력 F0H변위진폭 X위상

900 rpm15 Hz0.52822.21 N1.3864.40 μm2.5°

1200 rpm20 Hz0.70439.48 N1.97811.16 μm4.8°

1500 rpm25 Hz0.88161.69 N4.33538.20 μm13.2°

1703 rpm28.39 Hz1.00079.55 N16.667189.39 μm90.0°

1800 rpm30 Hz1.05788.83 N7.53195.56 μm151.5°

2400 rpm40 Hz1.409157.91 N1.01122.81 μm175.1°

3000 rpm50 Hz1.761246.74 N0.47516.75 μm177.1°

이 표는 정상상태 선형응답입니다. 실제 시동·정지 중에는 공진영역을 통과하는 속도, 가속률, 체류시간, 초기조건이 과도응답을 좌우합니다. 접촉 이탈, 볼트 미끄럼, 충돌, 유체 비선형이 있으면 고조파·분수조화파·진폭 의존 주파수가 나타날 수 있으므로 입력과 같은 주파수만 남는다는 선형 가정을 다시 확인해야 합니다.

6단계 — RPM, order, 모드를 Campbell 선도에서 겹쳐 본다

회전체의 회전주파수는 frot=RPM/60입니다. 1x order는 회전주파수와 같고, n차 order는 n·RPM/60입니다. 6000 rpm에서 1x는 100 Hz, 2x는 200 Hz입니다. 블레이드가 Z개라면 이상적인 블레이드 통과주파수는 Z×RPM/60이고, 기어 맞물림주파수는 회전축 주파수와 잇수의 곱입니다. order 분석에는 진동 신호뿐 아니라 시간에 따른 회전속도 또는 타코 신호가 필요합니다.

Campbell 선도는 가로축에 RPM, 세로축에 주파수를 두고 order 선과 고유진동수 또는 속도 의존 모드를 겹칩니다. 교차점은 “공진 가능성이 있는 후보”이지 자동 실패점이 아닙니다. 가진력 크기, 모드 방향, 가진 위치의 모드성분, 감쇠, 체류시간을 확인해야 실제 위험도를 판단할 수 있습니다.

7단계 — 대책은 여진원·분리·강성·감쇠를 구분해 선택한다

공진 대책을 “무조건 보강”으로 시작하면 위험합니다. MIT의 회전체 예제처럼 강성을 약 두 배로 올렸는데 고유진동수가 운전주파수 쪽으로 이동해 응답이 약 열 배 커질 수도 있습니다. 강성 증가는 응력과 정적처짐을 줄이는 동시에 고유진동수를 올립니다. 따라서 변경 전후의 전체 속도영역과 가진 order 교차를 다시 계산해야 합니다.

대책작동 원리효과적인 경우반드시 재확인할 것

밸런싱·정렬·맥동 저감입력 힘 자체를 줄임불평형, 축정렬, 주기적 압력원이 지배다른 order와 베어링 상태

질량·강성 조정고유진동수를 운전대역 밖으로 이동모드와 가진의 주파수 분리가 가능모든 운전속도, 다른 모드, 정적 강도

감쇠 추가공진에서 소산에너지를 늘림주파수 분리가 어렵고 변형이 감쇠재에 전달온도·진폭·노화에 따른 감쇠 변화

방진 마운트기초와 장비 사이 전달률을 낮춤운전주파수가 마운트 고유진동수보다 충분히 높음시동 공진, 정적 처짐, 6자유도 결합, 배관 우회경로

동흡진기보조질량을 목표주파수에 동조좁고 안정된 주파수의 지속 가진동조오차, 대역폭, 보조질량 스트로크와 피로

모든 프로젝트에 적용되는 하나의 “고유진동수 이격률”은 없습니다. 허용 이격은 가진 대역폭, 감쇠, 속도 변동, 제작공차, 모델 오차, 적용 코드와 고객규격에 따라 달라집니다. 따라서 “±10%면 안전” 같은 경험칙을 보편 규칙으로 쓰지 말고, 주파수응답 또는 과도응답으로 잔여 위험을 정량화해야 합니다.

8단계 — 다자유도에서는 고유진동수와 모드형상을 함께 푼다

여러 좌표를 가진 선형 구조의 자유진동은 Mü+Ku=0이고, u=φ sin(ωt)를 대입하면 (K−ω²M)φ=0이라는 일반화 고유치문제가 됩니다. 각 고유값 ωi²에는 고유진동수 fi와 모드형상 φi가 대응합니다. 모드형상은 “어느 부분이 같은 방향 또는 반대 방향으로 얼마나 상대적으로 움직이는가”를 나타내며, 표시된 절대 크기는 정규화와 시각화 배율에 따라 달라집니다.

예제로 m1=220 kg, m2=80 kg, 지면 스프링 k1=7 MN/m, 질량 사이 스프링 k2=2 MN/m인 2자유도계를 풀면 f1=20.074 Hz, f2=35.588 Hz입니다. 첫 모드는 φ1=[0.364, 1.000]로 두 질량이 같은 방향, 둘째 모드는 φ2=[1.000, −1.000]로 반대 방향입니다. 이 벡터의 1과 −1은 1 m 변위가 아니라 상대 형상입니다.

9단계 — 참여계수와 유효질량으로 ‘잘 가진되는 모드’를 찾는다

기초가 특정 방향으로 움직이거나 구조 전체에 관성입력이 작용할 때 모드 참여계수는 입력 방향과 모드형상의 결합 정도를 나타냅니다. 질량 정규화 모드라면 방향벡터 r에 대해 개념적으로 Γi=φiᵀMr, 유효모달질량은 Meff,i=Γi²로 볼 수 있습니다. 일반 정규화에서는 분모 φiᵀMφi를 포함해야 합니다. 값은 X, Y, Z 및 회전방향마다 다르므로 “전체 유효질량”이라는 한 숫자로 합치면 안 됩니다.

앞의 2자유도 예제에서 두 질량이 같은 방향으로 가속되는 입력에 대한 유효질량은 1차 모드 234.67 kg(78.2%), 2차 모드 65.33 kg(21.8%)이고 합은 이동 가능한 총질량 300 kg입니다. Abaqus 문서는 추출한 모드의 방향별 유효질량 합이 이동 가능한 질량과 같아야 한다고 설명하며, 동적해석에 충분한 모드를 고르는 실무 지침으로 관심 방향에서 90% 이상을 제시합니다. 다만 90%는 모든 산업·모든 문제의 합격법칙이 아니라 해당 해석 지침입니다. 국부응력이나 고주파 입력이 중요하면 누적질량이 작아도 특정 모드를 포함해야 합니다.

10단계 — 모달 FEA는 경계조건과 접합강성이 결과를 지배한다

고유진동수 추출은 외력 크기를 넣어 실제 진폭을 구하는 해석이 아닙니다. 선형화된 질량행렬과 강성행렬에서 주파수와 형상을 찾습니다. 모델의 총질량과 무게중심이 실물과 맞는지, 모터·오일·케이블·커버 같은 비구조 질량이 들어갔는지 먼저 확인해야 합니다. 밀도나 단위 오류는 모든 모드를 체계적으로 이동시킵니다.

그다음은 지지와 접합입니다. 바닥볼트, 베이스플레이트, 그라우트, 베어링, 부시, 마운트, 용접, 볼트접합, 배관은 방향별 유연성을 갖습니다. 실제로 유연한 지지를 완전고정하면 주파수를 과대평가하고 모드형상을 바꿀 수 있습니다. 반대로 연결을 누락하면 존재하지 않는 국부모드가 생깁니다. 모델의 경계조건은 “해석이 잘 돌아가는 구속”이 아니라 시험 또는 설치상태의 하중경로를 나타내야 합니다.

전응력이 동특성에 영향을 주는 구조는 기준상태를 먼저 계산해야 합니다. 회전체 원심력, 막장력, 케이블 장력, 압축력, 접촉상태는 접선강성을 바꿀 수 있습니다. Abaqus의 주파수 추출은 선형 섭동단계이며, 기준상태가 있으면 초기응력과 하중강성의 영향을 포함할 수 있습니다. 압축으로 좌굴점에 가까워지는 구조에서는 주파수가 내려갈 수 있으므로 무하중 모달 결과만 쓰면 위험합니다.

모델 항목최소 검산민감도 사례

질량총질량, 무게중심, 주요 관성모멘트, 부가질량모터 질량 ±제작공차, 유체 충전/비충전

강성정적 처짐과 반력, 단면·재료·방향탄성계수, 판두께, 보강재 위치

접합연속성, 볼트·용접·접촉의 실제 하중경로완전결합 대 탄성접합, 접촉 개폐

경계설치상태와 시험상태를 각각 모델링완전고정 대 기초스프링, 배관 포함/제외

메시관심 주파수·형상·응력의 수렴요소크기 1/2, 고차요소, 접합부 국부세분

전응력기준하중·회전·접촉상태와 단위무하중 대 운전하중, 장력·압축력 변화

11단계 — 질문에 맞는 동적 해석을 고른다

해석답하는 질문필요 입력핵심 산출물과 한계

고유진동수 추출어떤 주파수와 형상으로 자유진동하는가?M, K, 경계, 필요 시 전응력주파수·모드·참여도. 실제 진폭·응력은 아님

정상상태 조화응답사인 가진의 주파수별 진폭과 위상은?힘/기초운동, 주파수 sweep, 감쇠FRF, 변위·가속도·응력. 선형 정상상태 가정

과도응답충격, 시동·정지, 시간파형에 어떻게 반응하는가?시간이력, 초기조건, 감쇠시간별 응답. 시간간격과 해석시간 관리 필요

랜덤진동PSD 입력에서 통계적 RMS 응답은?입력 PSD, 상관, 감쇠RMS/PSD. 위상과 확률 가정 확인

응답스펙트럼지진 등 스펙트럼 입력의 최대 모달 조합은?스펙트럼, 방향, 감쇠, 조합법봉우리 추정. 실제 시간이력은 제공하지 않음

직접 비선형 동역학접촉·간극·소성·큰 변형이 응답을 어떻게 바꾸는가?비선형 재료·접촉과 시간입력비선형 시간이력. 계산비용과 검증 부담이 큼

모달 중첩은 선형 시스템에서 응답을 여러 모드의 조합으로 효율적으로 계산합니다. 접촉상태가 시간에 따라 바뀌거나 소성, 큰 미끄럼, 큰 변형이 지배하면 고정된 선형 모드의 중첩 가정이 깨질 수 있습니다. 이때는 직접 적분 비선형 동역학과 에너지·시간간격·접촉 민감도 검증이 필요합니다.

12단계 — FEA를 시험으로 닫고 차이를 모델 개선에 사용한다

검증은 “FEA 주파수와 시험 피크가 비슷하다”로 끝나지 않습니다. 먼저 계산모델과 시험체의 질량, 지지, 케이블·배관, 센서질량, 체결토크, 온도, 운전상태를 일치시킵니다. 충격해머 시험은 알려진 힘과 가속도 응답으로 주파수응답함수(FRF)를 만들고, 셰이커 시험은 제어된 주파수대에서 가진할 수 있습니다. 운전 중에는 타코와 다채널 가속도를 함께 기록해 order와 구조모드를 분리합니다.

주파수뿐 아니라 모드형상을 비교할 때는 MAC(Modal Assurance Criterion)을 사용할 수 있습니다. 두 실수 모드벡터 φa, φb에 대해 MAC=|φaᵀφb|²/[(φaᵀφa)(φbᵀφb)]이며, 1은 같은 방향의 형상, 0은 직교한 형상을 뜻합니다. 하지만 센서 위치가 적거나 공간 해상도가 낮으면 서로 다른 모드도 비슷해 보일 수 있습니다. 보편적인 단일 합격 임계값을 가정하지 말고 시험계획, 모드 밀도, 측정 불확도를 고려해 프로젝트 기준을 정해야 합니다.

불일치가 나면 무작정 탄성계수를 조정하지 말고 패턴을 봅니다. 모든 모드가 비슷한 비율로 낮으면 질량 또는 전체강성·단위 문제를 의심합니다. 특정 국부모드만 다르면 접합·메시·국부두께를 봅니다. 계산과 시험의 주파수 순서가 바뀌면 모드 추적과 MAC 교차항을 확인합니다. 주파수는 맞지만 공진폭이 다르면 감쇠와 가진력, 센서 방향, 정상상태 도달 여부를 점검합니다.

13단계 — 검토자가 재현할 수 있는 진동 보고서를 만든다

운전영역: 정격점뿐 아니라 최소·최대 RPM, 시동·정지 램프, 체류점, 이상운전을 기록합니다.

여진원: 1x, 2x, 기어·블레이드 order, 힘·모멘트·기초운동의 크기와 위상 근거를 적습니다.

모델: 단위계, 질량·무게중심, 재료, 접합, 경계, 전응력, 감쇠의 출처를 남깁니다.

수렴: 관심 모드의 주파수와 형상, 방향별 유효질량, 메시·경계·매개변수 민감도를 표로 비교합니다.

응답: 위치·방향·단위가 명확한 변위·가속도·응력·전달력을 전체 주파수 또는 시간범위에서 제시합니다.

시험상관: 센서와 가진점, FRF, 감쇠 식별법, 주파수 오차, MAC, 불확도를 기록합니다.

판정: 적용 규격·고객 기준·피로 또는 기능 한계와 안전여유를 연결하고, 설계변경 후 전체 영역을 재검토합니다.

최종 점검: 고유진동수만 계산하고 끝내지 않았는가? 모드형상의 표시 배율을 실제 변위로 쓰지 않았는가? 힘 가진과 기초 가진을 구분했는가? 감쇠의 근거가 있는가? 시동·정지 중 공진 통과를 포함했는가? 보강 후 다른 order와 모드의 교차를 다시 확인했는가?

공식 자료와 더 읽을거리

MIT OpenCourseWare — Engineering Dynamics: Mechanical Vibration: 단자유도 자유·강제진동, 감쇠, 조화응답의 강의와 문제.

MIT OpenCourseWare — Recitation 10: Steady State Dynamics: ωn=√(k/m), 주파수응답식, 강성변경이 공진을 악화시킬 수 있는 회전체 예제.

MIT OpenCourseWare — Lecture 21: Vibration Isolation: 회전체 가진, 정적처짐 검산, 공진과 방진의 물리.

Abaqus 2024 Documentation — Natural Frequency Extraction: 일반화 고유치문제, 전응력 기준상태, 모드형상 정규화.

Abaqus 2024 Documentation — Modal Variables: 일반화질량, 참여계수, 방향별 유효질량.

Abaqus 2024 Documentation — Dynamic Analysis Summary: 조화·과도·랜덤·응답스펙트럼 및 모달 중첩의 적용범위.

NI — Order Analysis: RPM과 order 정의, 회전속도 채널을 이용한 분석 절차.

NASA NTRS — Application of the Modal Assurance Criterion: 해석과 시험 모드형상 상관에 MAC을 적용한 기술자료.